Soal dan Pembahasan OSN 2019 Tingkat Kabupaten Matematika SMP
Olimpiade Sains Nasional (OSN) untuk tingkat kabupaten yang diperlombakan ada tiga bidang study, yaitu Matematika, IPA (Ilmu Pengetahuan Alam) dan IPS (Ilmu Pengetahuan Sosial). Kegiatan seleksi peserta OSN tahun 2019 untuk tingkat kabupaten (OSK) telah selesai dilaksanakan dengan baik pada hari ini. Seperti apa soal OSN tingkat kabupaten bidang study matematika pada tahun 2019 ini, mari kita coba diskusikan. Setidaknya ini akan menjadi catatan atau sebagai bahan persiapan menghadapi OSK tahun 2020.
Sebelumnya kita sudah pernah diskusikan beberapa soal latihan terkait OSK Matematika diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 lihat disini
Berikut mari kita diskusikan soal dan pembahasan OSN 2019 tingkat kabupaten mata pelajaran matematika untuk tingkat SMP😉
(1). Diketahui $A= \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$; $a,b,c$ adalah tiga anggota yang berbeda dari $A$, dan $\left( a^{b} \right)^{c}=n$. Nilai maksimum dari $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4096 \\
(B)\ & 6561 \\
(C)\ & 9561 \\
(D)\ & 9651
\end{align}$
Untuk mendapat nilai $n$ maksimum dari bentuk bilangan berpangkat $\left( a^{b} \right)^{c}=n$, kita coba mulai dari $a^{b}$ yang terbesar yaitu $3^{4}$. Sehingga selanjutnya kita tinggal memilih dari angka $0,1,2$ untuk menjadi pangkat, dan kita pilih juga bilangan terbesar yaitu $2$
Nilai $n=\left( a^{b} \right)^{c}$ maksimum adalah $\left( 3^{4} \right)^{2}=81^{2}=6561$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 6561$
(2). Dua akuarium $A$ dan $B$ diisi air sehingga volumnya sama yaitu $64.000\ cm^{3}$. Anto memiliki $30$ kelereng kecil dan $20$ kelereng besar yang akan dimasukkan ke dalam akuarium tersebut. Ke dalam akuarium $A$ dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64821\dfrac{1}{3}\ cm^{3}$. Sedangkan, ke dalam akuarium $B$ dimasukkan $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64880\ cm^{3}$. Volum seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah...$cm^{3}$.
$\begin{align}
(A)\ & 113\dfrac{3}{21} \\
(B)\ & 226\dfrac{6}{21} \\
(C)\ & 251\dfrac{9}{21} \\
(D)\ & 687\dfrac{5}{21}
\end{align}$
Dua akuarium yang masing-masing volumnya sama yaitu $64.000$
Pada akuarium $A$ dimasukkan $7k+7b \equiv 64821\dfrac{1}{3}$ dan pada akuarium $B$ dimasukkan $21k+7b \equiv 64880$.
Dari kedua keadaan akuarium, volume kelereng yang ditambahkan dapat kita ketahui dengan mengurangkan dengan volume akuarium mula-mula, sehingga kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
7k+7b = 821\dfrac{1}{3} & \\
21k+7b = 880 & (-) \\
\hline
14k = 58\dfrac{2}{3} & 21k+7b = 880 \\
14k =\dfrac{176}{3} & 21 \left( \dfrac{88}{21} \right) +7b = 880 \\
k = \dfrac{176}{42} & 7b = 880-88 \\
k = \dfrac{88}{21} & b = \dfrac{792}{7}
\end{array} $
Kelereng yang sisa adalah $2$ kereng kecil $(k)$ dan $6$ kelereng besar $(b)$, total volume kelereng yang sisa adalah;
$\begin{align}
& 2 \times \dfrac{88}{21} + 6 \times \dfrac{792}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{4752}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{14256}{21} \\
& = \dfrac{14432}{21} \\
& = 687\dfrac{5}{21}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 687\dfrac{5}{21}$
(3). Hasil Ikan Tangkapan (HIT) seorang nelayan selama bulan januari 2019 turun $25\%$ dibanding bulan sebelumnya HIT selama bulan Februari 2019 turun $20\%$ dibanding bulan sebelumnya. HIT selama bulan maret 2019 turun $10\%$ dibanding bulan sebelumnya sehingga menjadi $108\ kg$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A)\ $ HIT bulan Desember 2018 sebanyak 200 kg.
$(B)\ $ HIT bulan Januari 2019 sebanyak 120 kg.
$(C)\ $ HIT bulan Februari 2019 sebanyak 130 kg.
$(D)\ $ HIT bulan Februari 2019 sebanyak 150 kg.
Data-data yang disampaikan pada soal jika kita jabarkan kurang lebih seperti berikut;
- HIT Maret turun $10\%$ dibanding Februari menjadi $108\ kg$ atau dengan kata lain $108=90\% \times F$
- Berdasarkan data di Maret, HIT Februari adalah $F=108 \times \dfrac{100}{90}=120$. HIT Februari turun $20\%$ dibanding Januari sehingga $120=80\% \times F$
- Berdasarkan data di Februari, HIT Januari adalah $J=120 \times \dfrac{100}{80}=150$. HIT Januari turun $20\%$ dibanding Desember sehingga $150=75\% \times D$
- Berdasarkan data di Januari, HIT Desember adalah $D=150 \times \dfrac{100}{75}=200$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ $ HIT bulan Desember 2018 sebanyak 200 kg
(4). Jika $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka nilai $\dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5
\end{align}$
Untuk $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka $x+y=p-2q$ dan $x-y=3p-6q$
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+x^{2}+y^{2}-3xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}-2xy+x^{2}-3xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}+x^{2}-5xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}+x(x-5y)}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(p-2q)^{2}+(2p-4q)(2p-4q-5(-p+2q))}{(p-2q)(3p-6q)} \\
& = \dfrac{(p-2q)^{2}+(2p-4q)(7p-14q)}{(p-2q)(3p-6q)} \\
& = \dfrac{p^{2}-4pq+4q^{2}+14p^{2}-56pq+56q^{2}}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = \dfrac{15p^{2}-60pq+60q^{2}}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = \dfrac{5 \left(3p^{2}-12pq+12q^{2} \right)}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$
(5). Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 10
\end{align}$
Untuk $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat positif, maka nilai minimum dari $x+y$ terjadi untuk $x$ atau $y$ bilangan bulat terkecil.
Untuk $x=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
y+2 +y & = 10 \\
y & = 4 \\
x+y & = 5
\end{align}$
Untuk $y=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
x+2x +1 & = 10 \\
x & = 3 \\
x+y & = 4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$
(6). Akar-akar dari $x^{2}-5bx+b=0$ adalah kuadrat kebalikan akar-akar persamaan $x^{2}-ax+a-1=0$. Nilai terbesar yang mungkin dari hasil perkalian $a$ dan $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4} \\
(C)\ & \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-ax+a-1=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ maka $\alpha + \beta =a$ dan $\alpha \cdot \beta=a-1$.
Karena akar-akarnya berhubungan, maka akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5bx+b=0$ adalah $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$ maka $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=5b$ dan $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}=b$ atau $\dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}}=b$.
Dari beberapa data yang kita peroleh di atas, dapat kita simpulkan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}} & = 5b \\
\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left(\alpha^{2}+\beta^{2} \right) \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left( \left(\alpha +\beta \right)^{2}-2\alpha \beta \right) b & = 5b \\
a^{2}-2(a-1) & = 5 \\
a^{2}-2a+2-5 & = 0 \\
a^{2}-2a-3 & = 0 \\
(a-3)(a+1) & = 0 \\
a = 3\ \text{atau} \ a = -1
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{untuk}\ a=3 & \text{untuk}\ a=-1 \\
b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( 3-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( -1-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{4} & b = \dfrac{1}{4} \\
ab =\dfrac{3}{4} & ab = -\dfrac{1}{4}
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{4}$
(7). Didefenisikan $\left \lfloor a \right \rfloor =$ bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a$. Sebagai contoh $\left \lfloor 2 \right \rfloor=2$; $\left \lfloor \dfrac{3}{4} \right \rfloor=0$; $\left \lfloor \dfrac{5}{4} \right \rfloor=1$. Jika $x=7$ maka nilai $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -8
\end{align}$
Untuk $x=7$ maka
$\begin{align}
\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{3(7)+1}{4-7} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{21+1}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{22}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor -7\dfrac{1}{3} \right \rfloor \\
& = -8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -8$
(8). Disediakan empat bilangan $2,3,4,-2$ yang akan ditempatkan pada empat persegi paling bawah, sehingga tidak ada bilangan yang tersisa. Untuk enam persegi yang lain dibuat aturan sebagai berikut. Nilai persegi yang bertuliskan huruf $K$ adalah hasil perkalian dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya dan Nilai persegi yang bertuliskan huruf $J$ adalah hasil penjumlahan dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya (lihat gambar di bawah). Nilai paling besar yang mungkin diperoleh pada persegi paling atas adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 400 \\
(B)\ & 74 \\
(C)\ & 61 \\
(D)\ & 57
\end{align}$
Untuk mendapatkan nilai maskismum pada persegi $J$ terakhir kita usahakan angka yang paling besar yaitu $3$ dan $4$ harus kita kalikan dan $4$ kita gunakan lebih sering dari $3$.
(9). Jika $f[n]$ menyatakan banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$, selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 54
\end{align}$
Untuk $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2}$
$n= 3^{8} \cdot 4^{6} $
$n= 3^{8} \cdot 2^{12} $
Banyak faktor positif dari $n$ adalah $(8+1)(12+1)=117$
Banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ adalah
$f[n]=\left \lfloor \frac{117}{2} \right \rfloor=58$
Untuk $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2}$
$n= 3^{6} \cdot 4^{4} $
$n= 3^{6} \cdot 2^{8} $
Banyak faktor positif dari $n$ adalah $(6+1)(8+1)=63$
Banyak faktor positif dari bilangan bulat $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ adalah
$f[n]=\left \lfloor \frac{63}{2} \right \rfloor=31$
Selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ adalah $58-31=27$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 27$
(10). Bilangan tadutima adalah bilangan bulat positif yang bukan kelipatan $2,3, \text{atau}\ 5$. Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 333 \\
(B)\ & 266 \\
(C)\ & 233 \\
(D)\ & 167
\end{align}$
Total banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ adalah $1000$
- Banyak bilangan kelipatan $2 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 500 \right)$ ada sebanyak 500 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $3 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 333 \right)$ ada sebanyak 333 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $5 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 200 \right)$ ada sebanyak 200 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $6 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 166 \right)$ ada sebanyak 166 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $10 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 100 \right)$ ada sebanyak 100 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $15 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 66 \right)$ ada sebanyak 66 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $30 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 33 \right)$ ada sebanyak 33 bilangan
Banyak bilangan bulat positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah $1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33$ adalah $266$
Perhitungan terakhir di atas untuk mendapatkan $266$ dapat juga pakai konsep himpunan yaitu $n\left ( A\cup B\cup C \right )$$=n(A)+n(B)+n(C)$$-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)$$+n(A\cap B\cap C)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 266$
(11). Di antara bilangan bulat berikut, yang bernilai ganjil untuk setiap bilangan bulat $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2019-3n \\
(B)\ & 2019+n \\
(C)\ & 2019+2n \\
(D)\ & 2019+n^{2}
\end{align}$
Dari keempat pilihan di atas untuk setiap bilangan bulat $n$ maka kesimpulan yang dapat kita ambil adalah.
- $2019-3n$, dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil
- $2019+n$ dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil
- $2019+2n$ selalu bernilai ganjil untuk $n$ bilangan bulat
- $2019+n^{2}$ dapat bernilai genap ketika $n$ ganjil
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 2019+2n$
(12). Diketahui $A$ adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua bilangan anggota $A$ adalah $1209, 1690$ dan $2019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 329 \\
(B)\ & 481 \\
(C)\ & 769 \\
(D)\ & 810
\end{align}$
Kita misalkan $A=\{a,b,c\}$ sehingga
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1209 & \\
a+c = 1690 & \\
b+c = 2019 & (+) \\
\hline
2a+2b+2c = 4918 & \\
a+b+c = 2459
\end{array} $
Dari yang kta peroleh di atas dapat kita simpulkan;
- $c=2459-1209=1250$
- $b=2459-1690=769$
- $a=2459-2019=440$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 810$
(13). Perhatikan gambar. Jika $\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{\circ}$ maka besar $AOE$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 32^{\circ} \\
(B)\ & 48^{\circ} \\
(C)\ & 64^{\circ} \\
(D)\ & 84^{\circ}
\end{align}$
Sudut $\angle ABE$, $\angle ACE$ dan $\angle ADE$ merupakan sudut sudut keliling pada dengan sudut pusat $\angle AOE$ sehingga besar sudut $\angle ABE=\angle ACE=\angle ADE$ yaitu $\dfrac{96}{3}=32^{\circ}$.
Besar sudut $AOE$ adalah $2 times 32^{\circ}=64^{\circ}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 64^{\circ}$
(14). Perhatikan gambar di bawah. Gambar tersebt adalah gambar kap lampu yang tidak mempunyai alas dan tutup. Alas dan tutup kap lampu berbentuk lingkaran. Luas bahan untuk membuat kap lampu tersebut adalah...$cm^{2}\ (\pi=3,14)$
$\begin{align}
(A)\ & 1130,4 \\
(B)\ & 1120 \\
(C)\ & 565,2 \\
(D)\ & 560,2
\end{align}$
Jika kap lampu kita panjangkan akan membentuk sebuah kerucut seperti gambar di bawah ini;
$\begin{align}
\dfrac{BD}{AE} &= \dfrac{CD}{CE} \\
\dfrac{6}{12} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
CD &= 8
\end{align}$
Luas kap lampu adalah luas selimut kerucut besar dikurang luas selimut kerucut kecil, dimana panjang garis pelukis $(s)$ untuk kerucut kecil $s_{k}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$ sedangkan kerucut besar $s_{b}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=20$.
$\begin{align}
\text{Luas kap lampu} &= \pi \cdot r_{b} \cdot s_{b} -\pi \cdot r_{k} \cdot s_{k} \\
&= \pi \cdot 12 \cdot 20 -\pi \cdot 6 \cdot 10 \\
&= \pi \left(240 - 60 \right) \\
&= 180 \pi \\
&= 180 \cdot 3,14 =565,2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 565,2$
(15). Parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai titik puncak di $(p,p)$ dan titik potong dengan sumbu $Y$ di $(0,-p)$. Jika $p\neq 0$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 8
\end{align}$
Titik potong dengan sumbu $Y$ adalah di $(0,-p)$ maka parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $y=ax^{2}+bx-p$
Puncak $(p,p)$, sehingga
$\begin{align}
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\
p &= -\dfrac{b}{2a} \\
-2ap &= b \\
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{2a} \\
p &= -\dfrac{b^{2}+4ap}{4a} \\
-4ap &= b^{2}+4ap \\
b^{2} + 8ap &= 0 \\
b^{2} -4b &= 0 \\
b(b -4) &= 0 \\
b=0\ \text{atau}\ b=4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
(16). $ABCD$ adalah jajargenjang. $E$ adalah titik tengah $AB$. Ruas garis $DE$ memotong $AC$ di titik $P$. Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12:1 \\
(B)\ & 8:1 \\
(C)\ & 6:1 \\
(D)\ & 4:1
\end{align}$
Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{AE}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{\dfrac{1}{2} CD}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{2}{1} \\
t_{1} &= 2t_{2} \\
t &= t_{1}+t_{2}=3t_{1}
\end{align}$
Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah:
$\begin{align}
\dfrac{[ABCD]}{[AEP]} &= \dfrac{AB \cdot t}{\dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{AB \cdot 3t_{1}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}} \\
&= \dfrac{12}{1}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12:1$
(17). Dalam segitiga sama sisi $ABC$ titik $D,E.$ dan $F$ pada sisi $BC,CA,$ dan $AB$ sehingga $\angle AFE=\angle BFD;$ $\angle BDF=\angle CBE;$ dan $\angle CED=\angle AEf;$. Jika panjang sisi segitiga $ABC$ adalah $8\ cm$ maka luas segitiga $DEF$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & 4\sqrt{3} \\
(C)\ & 6\sqrt{3} \\
(D)\ & 8\sqrt{3}
\end{align}$
Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar seperti apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini;
$\begin{align}
[ABC] &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin\ 60^{\circ} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
&= 16 \sqrt{3}
\end{align}$
Jika kita perhatikan $\bigtriangleup DEF$, dapat kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
180-2\alpha+180-2\beta+180-2\theta &= 180 \\
2\alpha+ 2\beta+2\theta &= 360 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180
\end{align}$
Jika kita perhatikan dari salah satu segitiga, misal $\bigtriangleup AEF$, dapat kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
60+ \alpha+\theta &= 180 \\
\alpha+\theta &= 120 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180 \\
\hline
\beta &= 60 \\
\end{align}$
Dengan cara yang sama seperti di atas kita peroleh $\alpha = 60$ dan $\theta = 60$ sehingga $\bigtriangleup DEF$ merupakan segitiga sama sisi.
Luas $[ DEF ]=\dfrac{1}{4}[ABC]=4 \sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4 \sqrt{3}$
(18). Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang $AB=11\ cm$, $BC=15\ cm$, dan $EF=20\ cm$, maka luas bangun $ABCDEF$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 302 \\
(B)\ & 336 \\
(C)\ & 402 \\
(D)\ & 426
\end{align}$
Jika kita gambarkan kembali, dengan menambahkan garis $BG$ dan titik $O$, seperti berikut ini;
$\begin{align}
OE &= \sqrt{BE^{2}-OB^{2}} \\
&= \sqrt{15^{2}-9^{2}} \\
&= \sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12
\end{align}$
Luas $ABCDEF$ dapat kita hitung dengan menjumlahkan $[AOEF]$ dan $3[OED]$;
$\begin{align}
[ABCDEF] &= [AOEF]+3[OED] \\
&= 20 \times 12 + 3 \left( \dfrac{1}{2} \times 9 \times 12 \right) \\
&= 240 + 162 =402
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 402$
(19). Terdapat empat kotak yang dinomori $1$ sampai $4$. Setiap kotak dapat diisi maksimum $5$ koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor kecil. Jika tidak boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang meungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\
(B)\ & 70 \\
(C)\ & 252 \\
(D)\ & 625
\end{align}$
Misal urutan kotak kita tuliskan $[I] [II] [III] [IV]$
Kemungkinan I, kotak $I$ berisi $1$ koin
- Kotak $II$ berisi 1 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [1] [1] (5)$ - $[1] [1] [2] (4) $ - $[1] [1] [3] (3) $ - $[1] [1] [4] (2) $ - $[1] [1] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $5+4+3+2+1=15$ - Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [2] [2] (4) $ - $[1] [2] [3] (3) $ - $[1] [2] [4] (2) $ - $[1] [2] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $4+3+2+1=10$ - Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [3] [3] (3) $ - $[1] [3] [4] (2) $ - $[1] [3] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [4] [4] (2) $ - $[1] [4] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [5] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $1$ - Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $1$ koin adalah $15+10+6+3+1=35$
- Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [2] [2] (4)$ - $[2] [2] [3] (3)$ - $[2] [2] [4] (2)$ - $[2] [2] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 4+3+2+1=10$ - Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [3] [3] (3)$ - $[2] [3] [4] (2)$ - $[2] [3] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [4] [4] (2) $ - $[2] [4] [5] (1) $
banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $1=1$ - Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $2$ koin adalah $10+6+3+1=20$
- Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [3] [3] (3)$ - $[3] [3] [4] (2)$ - $[3] [3] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [4] [4] (2)$ - $[3] [4] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $1=1$ - Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $3$ koin adalah $6+3+1=10$
- Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[4] [4] [4] (2)$ - $[4] [4] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[4] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan adalah $ 3+1=4$ - Total banyak kemungkinan pada saat kotak $I$ berisi $4$ koin adalah $3+1=4$
$[5] [5] [5] (1)$ banyak kemungkinan adalah $1$
Total banyak kemungkinan cara pengisian koin adalah $35+20+10+4+1=70$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 70$
(20). Soal kedua untuk setiap buku baru yang datang, seorang pustakawan bertugas untuk menempel label nomor di bagian samping buku dan menyampul buku tersebut dengan plastik transparan. Proses menempel label dan menyampul ini disebut pengerjaan. Agar label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan suatu buku harus dilakukan setelah menempel label nomornya. Jika ada tiga buku baru berbeda yang harus dikerjakan, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang dapat dilakukan oleh pustakawan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 90 \\
(D)\ & 720
\end{align}$
Urutan pengerjaan adalah menempel label lalu menyampul buku.
| Label (L) dan Sampul (S) | |||
|---|---|---|---|
| Urutan 1 | Urutan 2 | Urutan 3 | Urutan 4 |
| (L) | (2L), (3S) | (L), (S) | (S) |
| 3 | 5 | 2 | 3 |
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 90$
(21). Password akun media sosial Ahmad terdiri dari enam karakter berbeda penyusun kata "NKRIgo". Ahmad memintamu untuk menebak password-nya dengan memberikan dua informasi, yaitu "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I". Jika kamu menggunakan seluruh informasi tersebut dengan baik, peluangmu untuk dapat langsung menebak dengan benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{36} \\
(B)\ & \dfrac{1}{72} \\
(C)\ & \dfrac{1}{144} \\
(D)\ & \dfrac{1}{720}
\end{align}$
Berdasarkan Teori Peluang, peluang sebuah kejadian $E$ adalah $P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$.
Susunan yang diharapkan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I".
Untuk mendapatkan susunan seperti yang diharapak di atas, kita coba dari:
- banyak susunan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $5! \times 2 =240$
- banyak susunan "g" bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $4! \times 2 \times 2=96$
- banyak susunan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" adalah $240-96=144$, sehingga $n(S) = 144$
Peluang berhasil menebak dengan benar
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E) = \dfrac{1}{144}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{144}$
(22). Misalkan terdapat $n$ nilai ulangan mempunyai rata-rata $75$. Jika ada tambahan sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya sekarang menjadi lebih dari $80$. Nilai $\dfrac{m}{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{11} \\
(B)\ & \dfrac{4}{17} \\
(C)\ & \dfrac{2}{9} \\
(D)\ & \dfrac{5}{24}
\end{align}$
Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
Untuk $n$ bilangan rata-ratanya adalah $75$, sehingga dapat kita tuliskan:
$75 =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
$75n = x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n} $
Ada tambahan sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya sekarang menjadi lebih dari $80$;
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n} &= \bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}+100m }{n+m} & \gt 80 \\
x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n}+100m & \gt 80m+80n \\
75n+100m & \gt 80m+80n \\
100m-80m & \gt 80n-75n \\
20m & \gt 5n \\
\dfrac{m}{n} & \gt \dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pilihan yang $\gt \dfrac{1}{4}$ adalah $\dfrac{4}{11}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{11} $
(23). Diketahui lima buah bilangan bulat positif yang sudah terurut, yaitu $n+1,$ $n+2,$ $2m-4,$ $2m-2,$ $m+4$. Rata-rata lima bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya, Nilai $m+n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 12
\end{align}$
Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
$\begin{align}
\bar{x} & = R \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} }{5} &= x_{5}-x_{1} \\
\dfrac{n+1+n+2+2m-4+2m-2+m+4 }{5} &= (m+4)-(n+1) \\
\dfrac{2n+5m+1}{5} &= m-n+3 \\
2n+5m+1 &= 5m-5n+15 \\
7n &= 14 \\
n &= 2
\end{align}$
$\begin{align}
Me & = R \\
X_{3} &= x_{5}-x_{1} \\
2m-4 &= (m+4)-(n+1) \\
2m-4 &= m+4-3 \\
m &= 5
\end{align}$
Nilai $m+n$ adalah $5+2=7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 7$
(24). Diagram batang berikut menyatakan nilai-nilai ulangan matematika kelompok siswa laik-laki dan siswa perempuan.
Jika $M_{1}$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok Laki-laki, $M_{2}$ adalah median untuk nilai ulangan kelompok Perempuan, dan $M$ adalah median nilai ulangan keseluruhan siswa, maka $M_{1}+M_{2}+M$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 150 \\
(B)\ & 200 \\
(C)\ & 220 \\
(D)\ & 240
\end{align}$
Dari diagram batang beberapa informasi yang dapat kita ambil adalah
- Nilai $60$ , $L=5$ dan $P=10$
- Nilai $70$ , $L=12$ dan $P=3$
- Nilai $80$ , $L=1$ dan $P=8$
- Nilai $90$ , $L=6$ dan $P=6$
- Siswa laki-laki ada sebanyak $5+12+1+6=24$ sehingga mediannya berada pada datum ke-$\dfrac{12+13}{2}$ yaitu $M_{1}=70$
- Siswa perempuan ada sebanyak $10+3+8+6=27$ sehingga mediannya pada datum ke datum ke-$14$ yaitu $M_{2}=80$
- Siswa keseluruhan ada sebanyak $24+27=51$ sehingga mediannya pada datum ke datum ke-$26$ yaitu $M=70$
Nilai $M_{1}+M_{2}+M$ adalah $70+80+70=220$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 220$
(25). Diketahui jumlah $20$ suku pertama suatu barisan aritmetika adalah $1390$. Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah $3$, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 17 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 24
\end{align}$
Jumlah $n$ suku pertama pada suatu barisan aritmetika adalah
$\begin{align}
S_{n} & =\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ] \\
S_{20} & =\frac{20}{2}\left [2(3)+\left ( 20-1 \right )b \right ] \\
1390 & =10 \left [6+19b \right ] \\
1390 & =60 +190b \\
1330 & = 190b \\
b &= \dfrac{1330}{190} =7
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Ahmad Mustofa, beberapa alternatif pembahasan soal di atas dipengaruhi oleh ide kreatifnya beliau, jika tertarik untuk membacanya silahkan Pembahasan Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika.
Sebagai tambahan, mungkin ada yang butuh file soal aslinya:
- Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika download
- Soal Olimpiade Sains Nasional SMP tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang IPA download
Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna, Jadi jika ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Mengerjakan pembagian pecahan umumnya kita harus kembalikan ke perkalian pecahan, lihat pada video ini dikerjakan dengan cara pilar (pintar bernalar);
