Soal dan Pembahasan UNBK Matematika IPA 2018 (*Simulasi UNBK 2019)
Ujian Nasional tahun 2019 pelaksanaannya tidak akan jauh berbeda dengan tahun 2018 yaitu berbasis komputer. Setelah terbukti UNBK (Ujian Nasional Berbasis Komputer) mampu menekan angka kecurangan UN dengan sangat baik maka untuk seterusnya kemungkinan UNBK ini tidak akan dirubah. Masalah UNBK yang harus segera diantisipasi berikutnya adalah komputer yang akan digunakan di sekolah, dominan sekolah yang melaksanakan UNBK masih kekurangan komputer untuk digunakan pada saat UNBK. Biasanya untuk mengatasi masalah kekurangan komputer pada hari-H pihak sekolah akan meminjam dari pihak-pihak yang tidak menyalahi peraturan yang ada.
Masalah berikut yang tidak kalah pentingnya harus diantisipasi agar pelaksanaan UNBK dapat berlangsung seperti yang diharapkan adalah tingkat kesulitan soal. Masih jelas dalam ingatan kita bahwa banyak meme yang beredar tetang sulitnya soal-soal UN yang berbasis komputer. Meskipun sebenarnya sulit itu relatif tetapi pada UN tahun 2018 kemarin banayk anak-anak mnegeluhkan sulitnya soal UNBK.
Salah satu cara untuk mengurangi rasa takut dalam menghadapi ujian-ujian dan terkhusus UNBK adalah kita harus punya persiapan dalam menghadapi soal-soal Ujian Nasional. Berikut kita coba latihan soal Simulasi UNBK Matematika IPA, mari berlatih dan berdiskusi;
1. Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta $43137$ berada pada urutan ke-...
$(A)\ 40$
$(B)\ 42$
$(C)\ 44$
$(D)\ 85$
$(E)\ 86$
Dari angka $1,\ 3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$ akan disusun sebuah nomor yang berurutan dari terkecil sampai yang terbesar.
Dimulai dari yang terkecil;
Jika angka $1$ didepan angka berikutnya $3,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(p,q,r)}^{n}=\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}$
$P_{(2,1,1)}^{4}=\frac{4!}{2!\cdot 1! \cdot 1!}=\frac{24}{2}=12$
Jika angka $3$ didepan angka berikutnya $1,\ 3,\ 4,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi tidak ada unsur yang sama.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
$P_{4}^{4}=\frac{4!}{(4-4)!}=24$
Jika angka $41$ didepan angka berikutnya $3,\ 3,\ \text{dan}\ 7$, banyak kemungkinan susunan adalah memakai permutasi jika ada unsur yang sama.
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{3!}{2!\cdot 1!}$
$P_{(2,1)}^{3}=\frac{6}{2}=3$
Jika angka $43$ didepan angka berikutnya $1$, $3$ dan $7$,
Kita sudah sampai pada susunan $43137$, yang berada pada urutan ke- $12+24+3+1=40$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 40$
2. Pada suatu segitiga siku-siku diketahui nilai $cos^{2}A=\frac{8}{10}$ dengan $A$ adalah sudut lancip. Nilai dari $tan\ A= \cdots$
$(A)\ -1$
$(B)\ -\dfrac{1}{2}$
$(C)\ \dfrac{1}{4}$
$(D)\ \dfrac{1}{2}$
$(E)\ 1$
Dari nilai $cos^{2}A=\frac{8}{10}$ dapat kita peroleh nilai $cos\ A$,
$cos\ A= \pm \sqrt{\frac{8}{10}}$
$cos\ A= \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$
Karena $A$ adalah sudut lancip maka $cos\ A= \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Dari identitas trigonometri $sin^{2}A+cos^{2}A=1$, atau bisa juga dengan bantuan segitiga siku-siku kita bisa dapatkan nilai $sin\ A$.
$sin^{2}A=1-cos^{2}A$
$sin^{2}A=1-\frac{8}{10}$
$sin^{2}A=\frac{2}{10}$
$sin\ A=\sqrt{\frac{1}{5}}$
$sin\ A=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$tan\ A= \frac{sin\ A}{cos\ A}$
$tan\ A= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{2}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{1}{2}$
3. Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}+4x-3$ yang tegak lurus dengan garis $x+2y-10=0$ adalah...
$(A)\ 2x+y+4=0$
$(B)\ 2x-y-4=0$
$(C)\ x+2y-4=0$
$(D)\ x+2y+4=0$
$(E)\ -x+2y-4=0$
Persamaan garis secara umum adalah $y-y_{1}=m \left( x-x_{1} \right)$
Gradien garis $x+2y-10=0$ adalah $m=-\frac{1}{2}$
Persamaan garis singgung kurva tegak lurus dengan garis $x+2y-10=0$ maka:
$m_{1} \cdot m_{2}=-1$
$-\frac{1}{2} \cdot m_{2}=-1$
$m_{2}=2$
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}+4x-3$ gradiennya adalah $m_{2}=2$ dan $m=y'$, maka:
$2x+4=2$
$2x=-2$
$x=-1$
Saat $x=-1$ kita peroleh $y=(-1)^{2}+4(-1)-3=1-4-3=-6$
Persamaan garis singgung kurva adalah
$y-y_{1}=m \left( x-x_{1} \right)$
$y-(-6)=2 \left( x-(-1) \right)$
$y+6=2 \left( x+1 \right)$
$y+6=2x+2$
$y-2x+4=0$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x-y-4=0$
4. Persamaan kuadrat $x^{2}+(m-1)x+9$ mempunyai akar-akar real berbeda. Batasan nilai $m$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ -5 \lt m \lt 7$
$(B)\ m \lt -5\ \text{atau}\ m \gt 7$
$(C)\ m \lt -7\ \text{atau}\ m \gt 5$
$(D)\ -7 \lt m \lt 5$
$(E)\ -7 \lt m \lt -5$
Agar persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real berbeda, maka $D \gt 0$ dimana $D=b^{2}-4ac$.
$D=(m-1)^{2}-4(1)(9)$
$D=m^{2}-2m+1-36$
$D=m^{2}-2m-35$
$m^{2}-2m-35 \gt 0$
$(m+5)(m-7) \gt 0$
$m \lt -5\ \text{atau}\ m\ \gt 7$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ m \lt -5\ \text{atau}\ m\ \gt 7$
5. Kamar Akbar berbentuk balok dengan ukuran panjang : lebar : tinggi=5:5:4. Di langit-langit kamar terdapat lampu yang letaknya tepat pada pusat bidang langit-langit. Pada salah dinding kamar dipasang saklar yang letaknya tepat di tengah-tengah dinding. Jarak saklar ke lampu adalah...
$(A)\ \frac{3}{2}\ m $
$(B)\ \frac{5}{2}\ m $
$(C)\ \frac{1}{2}\sqrt{34}\ m $
$(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{41}\ m $
$(E)\ \sqrt{14}\ m $
Ukuran kamar Akbar yang berbentuk balok masih dalam bentuk perbandingan, sehingga kita bisa dapat memisalkan ukuran panjangnya menjadi $panjang=5x$; $lebar=5x$ dan $tinggi=4x$.
Lampu berada pada titik tengah langit-langit dan saklar berada pada titik tengah dinding, ilustrasi saklar dan lampu kurang lebih seperti gambar berikut;
$d=\sqrt{(\frac{5}{2}x)^{2}+(2x)^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+4x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{25}{4}x^{2}+\frac{16}{4}x^{2}}$
$d=\sqrt{\frac{41}{4}x^{2}}$
$d=\frac{1}{2}\sqrt{41}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{2}\sqrt{41}$
6. Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut!
Koordinat titik potong grafik dengan sumbu $X$ adalah...
$(A)\ (1,0)\ \text{dan}\ (3,0)$
$(B)\ (2,0)\ \text{dan}\ (-3,0)$
$(C)\ (2,0)\ \text{dan}\ (1,0)$
$(D)\ (4,0)\ \text{dan}\ (1,0)$
$(E)\ (4,0)\ \text{dan}\ (2,0)$
Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu $X$, maka kita perlu ketahui persamaan kurva. Kurva pada gambar melalui titik puncak $(2,-1)$ dan sebuah titik sembarang $(0,3)$.
Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah:
$y=a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p}$
$3=a\left (0 -2\right)^{2}-1$
$3=4a-1$
$4=4a$
$a=1$
Persamaan kurva
$y=1\left (x -2\right)^{2}-1$
$y=x^{2}-4x+4-1$
$y=x^{2}-4x+3$
$y=(x-3)(x-1)$
Memotong sumbu $X$ di $(1,0)\ \text{dan}\ (3,0)$
Jika masih mau membahas lebih banyak tentang fungsi kuadrat: Matematika Dasar: Fungsi Kuadrat [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ (1,0)\ \text{dan}\ (3,0)$
7. Sebuah toko buku menjual 2 buku gambar dan 8 buku tulis seharga $Rp48.000,00$, sedangkan untuk 3 buku gambar dan 5 buku tulis seharga $Rp37.000,00$. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar...
$(A)\ Rp24.000,00$
$(B)\ Rp20.000,00$
$(C)\ Rp17.000,00$
$(D)\ Rp14.000,00$
$(E)\ Rp13.000,00$
Pada soal disampaikan bahwa harga 2 buku tulis dan 8 buku gambar adalah $48.000$ dan 3 buku tulis dan 5 buku gambar adalah $37.000$.
Dengan memisalkan $\text{buku tulis}=m$ dan $\text{buku gambar}=n$ maka secara simbol bisa kita tuliskan;
$2m+8n=48.000$ atau $6m+24n=144.000$
$3m+5n=37.000$ atau $6m+10n=74.000$
Dari kedua persamaan diatas dengan mengeliminasi atau substitusi kita peroleh $14n=70.000$ maka $n=5.000$
Untuk $n=5.000$ maka $3m+5(5.000)=37.000$, $m=4.000$.
Harga yang harus dibayar untuk 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu adalah $13.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ Rp13.000,00$
8. Diketahui
$f(x)=\begin{cases}3x-p,\ x\leq 2 \\
2x+1,\ x > 2 \end{cases}$
Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai, maka $p=...$
Berdasarkan defenisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$
Limit kanan $\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(2x+1)=2(2)+1=5$
Limit kiri $\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(3x-p)=3(2)-p=6-p$
Berdasarkan defenisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$6-p=5$
$6-5=p$
$p=1$
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $1$
9. Dalam rangka mempersiapkan diri pada kejuaraan lomba lari tingkat nasional bulan depan, Susanti berlatih setiap hari. Dia menuliskan rata-rata kecepatan larinya setiap hari dalam tabel berikut:
Grafik yang sesuai dengan data diatas dapat disajikan dalam bentuk...
Kecepatan $\left( \frac{cm}{detik} \right)$ Frekuensi 1-2 6 3-4 11 5-6 8 7-8 3 9-10 2
(A).(B).(C).(D).(E).
Berdasarkan data pada tabel yang disajikan dalam bentuk grafik yang paling sesuai adalah gambar (B).
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)$
10. Sebuah tangga memiliki panjang $6\ m$. Tangga tersebut disandarkan pada tembok rumah dengan membentuk sudut $60^{\circ}$ terhadap tanah. Ketinggian tembok yang dapat dicapai oleh ujung tangga dari permukaan tanah adalah...
$(A)\ 2\sqrt{2}\ m$
$(B)\ 3\sqrt{2}\ m$
$(C)\ 2\sqrt{3}\ m$
$(D)\ 3\sqrt{3}\ m$
$(E)\ 6\sqrt{3}\ m$
Informasi yang ada pada soal dapat kita ilustrasikan kurang lebih seperti berikut ini;
Panjang $BC$ dapat kita hitung dengan bantuan defenisi perbandingan trigonometri yaitu sinus;
$sin\ 60^{\circ}=\frac{BC}{AB}$
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{BC}{6}$
$BC=3 \sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3\sqrt{3}\ m$
11. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan $U_{2}=8$ dan $U_{6}=20$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$(A)\ 150$
$(B)\ 75$
$(C)\ 50$
$(D)\ 28$
$(E)\ 25$
Berdasarkan informasi dari soal yaitu barisan aritmetika, maka kita butuh informasi berikut ini;
$U_{n}=a+(n-1)b$
$S_{n}=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b \right)$
$U_{2}=8\ \rightarrow\ a+b=8$
$U_{6}=20\ \rightarrow\ a+5b=20$
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b= 8 & \\
a+5b = 20 & (-) \\
\hline
-4b = -12 & \\
b = 3 & a= 5
\end{array} $
Untuk $b=3$ maka $a=5$, dan $S_{6}$ adalah
$\begin{align}
S_{6} & =\frac{6}{2} \left(2a+(6-1)b \right) \\
&=3 \left(2(5)+(5)(3) \right) \\
&=3 \left(10+15 \right) \\
&=3 \left(25 \right) \\
&=75
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 75$
12. Suatu pabrik gerabah tanah liat memproduksi gerabah melalui dua tahap. Tahap I menggunakan mesin I untuk mengolah tanah liat menjadi siap cetak. Tahap II menggunakan mesin II untuk mengolah bahan siap cetak menjadi gerabah. Misalkan $a$ menyatakan jumlah tanah liat dalam satuan karung dan $b$ menyatakan jumlah bahan yang siap cetak. Pada tahap I, $b=f(a)=5a-3$ dan pada tahap II, $g(b)=3b-2$ menyatakan jumlah gerabah yang dihasilkan. Jika satu buah gerabah seharga $Rp6.000,00$ dan terdapat $100$ karung tanah liat, pendapatan pabrik tersebut adalah...
$(A)\ Rp1.788.000,00$
$(B)\ Rp2.982.000,00$
$(C)\ Rp8.922.000,00$
$(D)\ Rp8.934.000,00$
$(E)\ Rp9.042.000,00$
Berdasarkan informasi dari soal bahwa jumlah gerabah yang dihasilkan tergantung kepada $a$ dan $b$.
Untuk $a=100$ maka jumlah gerabah yang siap cetak adalah:
$b=f(a)=5a-3$
$b=5(100)-3=497$
Untuk $b=497$ maka jumlah gerabah yang dihasilkan adalah:
$g(b)=3b-2$
$g(497)=3(497)-2$
$g(497)=1491-2=1.489$
Untuk $1.489$ gerabah yang dihasilkan maka pendapatan pabrik adalah $1.489 \times 6.000$ adalah $Rp8.934.000,00$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ Rp8.934.000,00$
13. Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$(A)\ -6x^{2}+36x$
$(B)\ -6x^{2}+36x+18$
$(C)\ -18x^{2}+30x+18$
$(D)\ 18x^{2}+30x+18$
$(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\
& =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\
& =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\
& =-18x^{2}+30x+18
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$
14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval...
$(A)\ 1 \lt x \lt 3$
$(B)\ -1 \lt x \lt 3$
$(C)\ -3 \lt x \lt 1$
$(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$
$(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
Syarat suatu fungsi akan turun adalah turunan pertama kurang dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=3x^2+6x-9$
$ \begin{align}
f'(x) & \lt 0 \\
3x^2+6x-9 & \lt 0 \\
x^2+2x-3 & \lt 0 \\
(x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\
\text{diperoleh pembuat nol} \\
x & =-3\ \text{atau} \\
x & =1 \end{align} $
Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$
Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$
15. Fajar sedang berlatih olahraga basket. Tahap pertama yang dia pelajari adalah teknik dribble bola yaitu memantulkan bola kelantai secara berulang-ulang dengan satu tangan.
Fajar memulai mendribble bola dari ketinggian $90\ cm$. Setelah bola menyentuh lantai tingginya bertambah menjadi $\frac{4}{3}$ dari tinggi semula. Jika diketahui tinggi Fajar adalah $175\ cm$ dan dia tidak dapat mendribble bola melebihi tinggi badannya, maka jarak seluruh lintasan bola dari pukulan pertama sampai bola itu berada pada tangan Fajar untuk dilakukan dribble terakhir adalah...
$(A)\ 8,6\ m$
$(B)\ 6,5\ m$
$(C)\ 5,3\ m$
$(D)\ 4,9\ m$
$(E)\ 3,3\ m$
Lintasan pantulan bola pada saat Fajar melakukan dribble bola yang dilakukan dari awal sampai akhir, kurang lebih seperti berikut ini:
Tinggi awal bola: $90$
Tinggi Setelah Pantulan I: $\frac{4}{3} \times 90=120$
Tinggi Setelah Pantulan II: $\frac{4}{3} \times 120=160$
Tinggi Setelah Pantulan III: $\frac{4}{3} \times 160=213 \frac{1}{3}$
Tinggi setelah pantulan III adalah $213 \frac{1}{3}$ dan ini sudah melewati tinggi Fajar yang $175$, sehingga setelah pantulan ke-II dia tidak lagi mendribble bola.
Panjang lintasan keseluruhan adalah $90+120+120+160=490\ cm=4,9\ m$
Soal ini adalah pengembangan deret geometri, jika ingin membahas soal dasar tentang deret geometri, silahkan disimak: Menghitung Deret Geometri Tak Hingga
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 4,9\ m$
16. Sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ pada kubus $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $a\ cm$ adalah...
$(A)\ 30^{\circ}$
$(B)\ 45^{\circ}$
$(C)\ 60^{\circ}$
$(D)\ 75^{\circ}$
$(E)\ 90^{\circ}$
Sebagai ilustrasi soal diatas, kita gambarkan kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $a$, garis $DG$ dan garis $AC$, kurang lebih seperti berikut ini;
Untuk kasus ini, kita coba geser garis $DG$ ke titik $A$, sehingga garsi $AC$ dan $DG$ berpotongan di titik $A$. Sudut antara garis $AC$ dan $DG$ adalah sudut $CAF$. Sebagai ilustrasi, kurang lebih seperti gambar berikut ini;
Segitiga $ACF$ adalah segitiga sama sisi karena sisi segitiga tersebut adalah diagonal sisi kubus yang besarnya $a\sqrt{2}$. Karena segitiga $ACF$ adalah sama sisi maka besar ketiga sudutnya sama besar yaitu $60^{\circ}$.
Besar sudut antara garis $AC$ dengan $DG$ adalah $\measuredangle CAF=60^{\circ}$
Pada kurikulum 2013 Kompetensi Dasar kemampuan siswa yang diharapkan adalah jarak titik ke titik, garis dan bidang, silahkan disimak soal latihan dimensi tiga pada kurikulum 2013: Matematika Dasar Uji Kompetensi Dimensi Tiga [Buku Kurikulum 2013]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 60^{\circ}$
17. Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0$ yang tegak lurus dengan garis $4x-3y+7=0$ adalah...
$(A)\ 3x+4y+13=0\ \text{atau}\ 3x+4y+27=0$
$(B)\ 3x+4y-13=0\ \text{atau}\ 3x+4y+27=0$
$(C)\ 3x-4y+13=0\ \text{atau}\ 3x-4y+27=0$
$(D)\ 4x+3y-13=0\ \text{atau}\ 4x+3y+27=0$
$(E)\ 4x+3y+13=0\ \text{atau}\ 4x+3y-27=0$
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang dicari pada soal adalah PGS lingkaran jika diketahui gradiennya karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $4x-3y+7=0$.
Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $4x-3y+7=0$ maka gradien garis $4x-3y+7=0$ $(m=\frac{4}{3})$ dikali gradien garis singgung lingkaran adalah $-1$.
$m \times\ \frac{4}{3}=-1$
$m =-\frac{3}{4}$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ jika diketahui gradiennya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2}$.
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+8y+9=0$ kita peroleh pusat lingkaran yaitu $(3,-4)$ dan $r = \sqrt{a^2 + b^2 - C}=\sqrt{9 + 16 - 9}=4$.
$\begin{align}
y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\
y +4 & = -\frac{3}{4}(x-3) \pm 4 \sqrt{1 + (-\frac{3}{4})^2} \\
y +4 & = -\frac{3}{4}(x-3) \pm 4 \sqrt{1 + \frac{9}{16}} \\
y +4 & = -\frac{3}{4}(x-3) \pm 4 \sqrt{\frac{25}{16}} \\
y +4 & = -\frac{3}{4}(x-3) \pm 4 \times \frac{5}{4} \\
y +4 & = -\frac{3}{4}(x-3) \pm 5 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\
4y +16 & = -3(x-3) \pm 20 \\
4y+16 & = -3x+9 \pm 20 \\
4y & = -3x+9-16 \pm 20 \\
4y & = -3x-7 \pm 20 \\
\text{(PGS 1) }:4y & = -3x-7+20 \\
4y & = -3x + 13 \\
3x+4y -13 & = 0 \\
\text{(PGS 2) }:4y & = -3x-7-20 \\
4y & = -3x -27 \\
3x+4y +27 & = 0
\end{align} $
Jika masih tertarik untuk berlatih soal lingkaran yang lain, silahkan disimak : Matematika Dasar: Lingkaran [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+4y-13=0\ \text{atau}\ 3x+4y+27=0$
18. Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah...
$(A)\ -2$
$(B)\ -1$
$(C)\ 0$
$(D)\ 1$
$(E)\ 2$
Berdasarkan informmasi pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka
$g \left (f(x) \right )=x-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$
$g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$
$g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
invers fungsi $g(a)$ adalah $g^{-1}(a)$ salah satu cara menentukan $g^{-1}(a)$ yaitu:
$y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$
$2y=a-5$
$2y+5=a$
$g^{-1}(a)=2a+5$
$g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang lain, silahkan disimak : Matematika Dasar Tentang FKFI
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 1$
19. Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat persegi di setiap pojok karton, seperti pada gambar. Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah...
$(A)\ 2.000\ cm^{3}$
$(B)\ 3.000\ cm^{3}$
$(C)\ 4.000\ cm^{3}$
$(D)\ 5.000\ cm^{3}$
$(E)\ 6.000\ cm^{3}$
Dari sebuah persegi akan dibuat sebuah kotak, sehingga Volume adalah Luas Alas $times$ Tinggi, dimana alas kotak berupa persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak adalah sebesar $x$, sebagai ilustrasi ukuran kotak akan tampak pada gambar berikut.
$V=(30-2x)(30-2x)(x)$
$V=(900-120x+4x^{2})(x)$
$V=900x-120x^{2}+4x^{3}$
Untuk menentukan volume maksimum, dapat kita gunakan turunan pertama yaitu $V'=0$
$900-240x+12x^{2}=0$
$x^{2}-20x+75=0$
$(x-15)(x-5)$
$x=15\ \text{atau}\ x=5$
Volume kota akan maksimum untuk $x=5$, (*kenapa tidak untuk $x=15$, coba Anda analisa!).
Volume maksimum adalah
$V=(30-2x)(30-2x)(x)$
$V=(30-10)(30-10)(5)$
$V=(400)(5)=2.000\ cm^{3}$ $(A)$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal aplikasi turunan, silahkan disimak : Aplikasi Turunan Fungsi [Soal dan Pembahasan]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$
20. Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
4 & -1
\end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 1
\end{bmatrix}$. Jika $C=AB$, invers matriks $C$ adalah $C^{-1}=\cdots$
$(A)\ \begin{bmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
$(B)\ \begin{bmatrix}
-\frac{1}{6} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
$(C)\ \begin{bmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
$(D)\ \begin{bmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
-\frac{1}{2} & \frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
$(E)\ \begin{bmatrix}
-\frac{1}{6} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{30} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
$C=AB$
$C=\begin{bmatrix}
2 & 1\\
4 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
4 & -1\\
1 & 1
\end{bmatrix}$
$C=\begin{bmatrix}
9 & -1\\
15 & -5
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{(9)(-5)-(15)(-1)}\begin{bmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{bmatrix}$
$C^{-1}=\frac{1}{-30}\begin{bmatrix}
-5 & 1\\
-15 & 9
\end{bmatrix}$
$C^{-1}= \begin{bmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$ $(A)$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak : Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{bmatrix}
\frac{1}{6} & -\frac{1}{30} \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10}
\end{bmatrix}$
21. Sepasang pengantin baru yang baru saja melangsungkan pernikahan berencana mempunyai empat anak. Si suami menginginkan dari keempat anaknya itu nanti dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki. Sedangkan si istri menginginkan keempat anaknya terdiri dari tiga anak berjenis kelamin sama dan satu yang lainnya berbeda. Pernyataan yang paling tepat berdasarkan masalah tersebut bahwa peluang terjadinya keinginan suami adalah...
$(A)$ sama besar dengan peluang keinginan istri
$(B)$ lebih besar dari peluang keinginan istri
$(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri
$(D)$ lebih rasional dari pada keinginan istri
$(E)$ tidak bisa ditentukan
Pengantin baru yang baru saja menikah sama-sama menginginkan anak berjumlah 4 orang, sehingga kemungkinan susunan jenis kelamin anak mereka adalah sebagai berikut;
$[1]: LLLL\ ,\ [9]:PLLL$
$[2]: LLLP\ ,\ [10]:PLLP$
$[3]: LLPL\ ,\ [11]:PLPL$
$[4]: LLPP\ ,\ [12]:PLPP$
$[5]: LPLL\ ,\ [13]:PPLL$
$[6]: LPLP\ ,\ [14]:PPLP$
$[7]: LPPL\ ,\ [15]:PPPL$
$[8]: LPPP\ ,\ [16]:PPPP$
Peluang keinginan suami dua anak berjenis kelamin perempuan dan dua lainnya laki-laki peluangnya adalah
$P(s)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
Peluang keinginan istri tiga anak jenis kelamin sama dari empat orang anak peluangnya adalah
$P(i)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
Jawaban yang paling tepat ada pada pilihan $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri.
Jika dikerjakan dengan menggunakan rumus-rumus, pengerjaan masalah diatas kurang lebih seperti berikut ini;
$n(S):$ Banyak susunan jenis kelamin anak yang mungkin dari empat orang anak adalah $2^{4}=16$
Kejadian yang diharapkan suami, dua laki-laki dan dua perempuan dari empat orang anak;
$n(E_{s})=C_{2}^{4} \times C_{2}^{2}=12 \times 1=6$
$P(E_{s})=\frac{n(E_{s})}{n(S)}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$
Kejadian yang diharapkan istri, tiga anak sama jenis kelamin dari empat orang anak;
$n(E_{i})=C_{1}^{4} \times C_{3}^{3} + C_{3}^{4} \times C_{1}^{1}$
$n(E_{i})=4 \times 1 + 4 \times 1=8$
$P(E_{i})=\frac{n(E_{i})}{n(S)}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Peluang, silahkan disimak : Matematika dan Harapan
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$ lebih kecil dari peluang keinginan istri
22. Diketahui $(x-1)$, $(x+3)$, $(5x+3)$ adalah tiga suku pertama barisan geometri naik $(r \gt 1)$. Suku ke-6 barisan geometri tersebut adalah...
$(A)\ 22$
$(B)\ 26$
$(C)\ 96$
$(D)\ 486$
$(E)\ 1.458$
Barisan geometri mempunyai beberapa ciri khusus diantaranya adalah $u^{2}_{2}=u_{1} \times u_{3}$, sehingga kita peroleh;
$(x+3)^{2}=(x-1)(5x+3)$
$x^{2}+6x+9=5x^2-2x-3$
$4x^{2}-8x-12=0$
$x^{2}-2x-3=0$
$(x-3)(x+1)=0$
$x=3\ \text{atau}\ x=-1$
Untuk $x=3$, Barisan Geometri: $2,\ 6,\ 18$
Suku ke-6 adalah:
$ar^{5}=2(3)^{5}=2(243)=486$
Jika ingin membahas soal dasar tentang deret geometri, silahkan disimak: Belajar Barisan dan Deret Geometri
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 486$
23. Hasil dari $\frac{^{3}log\ 81-^{5}log\ 32\ \cdot\ ^{2}log\ 25}{^{16}log\ 64}$ adalah...
$(A)\ -9$
$(B)\ -4$
$(C)\ -3$
$(D)\ 7$
$(E)\ 36$
$\frac{^{3}log\ 81-^{5}log\ 32\ \cdot\ ^{2}log\ 25}{^{16}log\ 64}$
$=\frac{^{3}log\ 3^{4}-^{5}log\ 2^{5}\ \cdot\ ^{2}log\ 5^{2}}{^{4^{2}}log\ 4^{3}}$
$=\frac{4-(5)\ ^{5}log\ 2\ \cdot\ (2)\ ^{2}log\ 5}{\frac{3}{2}}$
$=\frac{4-(5)(2)}{\frac{3}{2}}$
$=\frac{-6}{\frac{3}{2}}$
$=-6 \times \frac{2}{3}$
$=-\frac{12}{3}=-4$
Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang logaritma, silahkan disimak: Matematika Dasar: Logaritma [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -4$
24. Pagar suatu jembatan terdiri dari 13 buah segitiga sama sisi seperti pada gambar.
Jembatan memiliki dua sisi yang sama yaitu sisi kanan dan kiri. Tinggi jembatan adalah 2 meter. Luas semua segitiga (sisi kanan dan kiri) yang terbentuk dari pagar jembatan tersebut adalah...
$(A)\ \frac{4}{3}\sqrt{3}\ m^{2}$
$(B)\ 13\sqrt{3}\ m^{2}$
$(C)\ 26\sqrt{3}\ m^{2}$
$(D)\ \frac{52}{3}\sqrt{3}\ m^{2}$
$(E)\ \frac{104}{3}\sqrt{3}\ m^{2}$
Pertama kita coba hitung luas sebuah segitiga sama sisi dengan tinggi $2\ m$.
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{2}{AB}$
$AB=\frac{2}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}$
$AB=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$
$[ABC]=\frac{1}{2} \cdot AB\ \cdot BC\ sin\ 60^{\circ}$
$[ABC]=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\sqrt{3} \cdot \frac{4}{3}\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}$
$[ABC]=\frac{4}{3}\sqrt{3}$
Luas sebuah segitiga pada pagar jembatan adalah $\frac{4}{3}\sqrt{3}$
Banyak segitiga pagar jembatan adalah $26$ segitiga, sehingga luas semua segitiga (sisi kanan dan kiri) yang terbentuk dari pagar jembatan tersebut adalah $26 \times \frac{4}{3}\sqrt{3}=\frac{104}{3}\sqrt{3}$
Jika ingin membahas soal matematika dasar tentang luas segitiga, silahkan disimak: Luas Segitiga Jika Diketahui Panjang Dua Sisi Dan Besar Satu Sudut
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \frac{104}{3}\sqrt{3}\ m^{2}$
25. Daerah yang diarsir pada diagram adalah daerah himpunan penyelesaian dari suatu masalah program linear.
Model matematika yang sesuai dengan masalah tersebut adalah....
$(A)\ x+2y \geq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(B)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(C)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(D)\ 2x+y \geq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
$(E)\ 2x+y \geq 8;\ 3x+2y \geq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;
$I:\ 6x+4y=24\ \rightarrow\ 3x+2y=12$
$II:\ 4x+8y=32\ \rightarrow\ x+2y=8$
$III:\ y=0$
$IV:\ x=0$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
Titik $(0,0)$ ke $3x+2y=12$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 3x+2y \leq 12 $.
Titik $(0,0)$ ke $x+2y=8$ diperoleh $ 0 \leq 8 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+2y \leq 8 $.
Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2y \leq 8;\ 3x+2y \leq 12;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
26. Tabel berikut menyajikan data berat badan sekelompok siswa.
Kuartil atas data dalam tabel diatas adalah...
Berat Badan (kg) Frekuensi 45-49 3 50-54 6 55-59 10 60-64 12 65-69 15 70-74 6 75-79 4
$(A)\ 66\frac{5}{6}$
$(B)\ 67\frac{1}{6}$
$(C)\ 67\frac{5}{6}$
$(D)\ 68\frac{1}{6}$
$(E)\ 68\frac{4}{6}$
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(K_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Data pada tabel diberitahu yaitu total frekuensi adalah $n=56$.
Untuk menetukan letak $Q_{3}$ ada pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(n+1) \right]$
$Q_{3}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{3}{4}(56+1) \right]=42,75$
$Q_{3}$ pada data ke-$42,75$ artinya $Q_{3}$ berada pada kelas interval $65-69$
Tepi bawah kelas $Q_{3}$: $65-69$
$t_{b}= 65 - 0,5 = 64,5 $
Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{3}$,
$f_{k}= 3+6+10+12=31$
Frekuensi kelas $Q_{3}$, $f_{Q_{3}}=15$
Panjang kelas $c=69,5-65,5=5$
$ \begin{align}
Q_{3} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{3}}} \right)c \\
& = 64,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}.56 - 31}{15} \right)5 \\
& = 64,5 + \left( \frac{42 - 31}{15} \right)5 \\
& = 64,5 + \left( \frac{11}{15} \right)5 \\
& = 64,5 + \frac{11}{3} \\
& = 64\frac{1}{2} + 3\frac{2}{3} \\
& = 68\frac{1}{6}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 68\dfrac{1}{6}$
27. Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(3,-1)$ dan melalui titik $(5,2)$ adalah...
$(A)\ x^{2}+y^{2}+6x-2y-55=0$
$(B)\ x^{2}+y^{2}+6x-2y-31=0$
$(C)\ x^{2}+y^{2}-6x+2y-3=0$
$(D)\ x^{2}+y^{2}-6x+2y-3=0$
$(E)\ x^{2}+y^{2}-6x+2y+23=0$
Untuk membentuk persamaan lingkaran setidaknya ada 2 hal dasar harus kita ketahui, yaitu titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Pada soal disampaikan titik pusat lingkaran $P(3,-1)$ dan lingkaran melalui titik $(5,2)$, artinya jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui lingkaran.
$ \begin{align}
r & = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+x_{2}-x_{1})^{2}} \\
& =\sqrt{(2-(-1))^{2}+(5-3)^{2}} \\
& =\sqrt{9+4} \\
& =\sqrt{13}
\end{align} $
Persamaan lingkaran engan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah:
$ \begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}& =r^{2} \\
(x-3)^{2}+(y-(-1))^{2}& =(\sqrt{13})^{2} \\
x^{2}-6x+9+y^{2}+2y+1& =13 \\
x^{2}+y^{2}-6x+2y+10& =13 \\
x^{2}+y^{2}-6x+2y-3& =0
\end{align} $
Latih lagi kemampuan matematika dasar tentang lingkaran, silahkan disimak: Matematika Dasar: Lingkaran [Soal SBMPTN dan Pembahasan]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-6x+2y-3=0$
28. Seorang penjahit memiliki persediaan $4\ m$ kain wol dan $5\ m$ kain satin. Dari kain tersebut akan dibuat dua model baju. Baju pesta I memerlukan $2\ m$ kain wol dan $1\ m$ kain satin, sedangkan baju pesta II memerlukan $1\ m$ kain wol dan $2\ m$ kain satin. Baju pesta I dijual dengan harga $Rp600.000,00$ dan baju pesta II seharga $Rp500.000,00$. Jika baju pesta tersebut terjual, hasil penjualan maksimum penjahit tersebut adalah...
$(A)\ Rp1.800.000,00$
$(B)\ Rp1.700.000,00$
$(C)\ Rp1.600.000,00$
$(D)\ Rp1.250.000,00$
$(E)\ Rp1.200.000,00$
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
| Jenis Kain | Wol | Satin | Harga |
| I (x) | 2 | 1 | 600.000 |
| II (y) | 1 | 2 | 500.000 |
| Tersedia | 4 | 5 |
$ \begin{align}
2x+y & \leq 4 \\
x+2y & \leq 5 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0 \end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
- $A\ (2,0)$ maka $Z=600.000(2)+500.000(0)=1.200.000$
- $B\ (1,2)$ maka $Z=600.000(1)+500.000(2)=1.600.000$
*Titik $(B)$ kita peroleh dengan mengelimiasi atau substitusi garis 1 dan garis 2 - $C\ (0,\frac{5}{2})$ maka $Z=600.000(0)+500.000(\frac{5}{2})=1.250.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp1.600.000,00$
29. Nilai $x$ yang memenuhi agar fungsi trigonometri $f(x)=10\ sin\ 2x +5$ memotong sumbu $X$ pada interval $90^{\circ} \leq x \leq 180^{\circ}$ adalah...
Agar fungsi trigonometri $f(x)=10\ sin\ 2x +5$ memotong sumbu $X$, maka nilai $f(x)=0$.
$ \begin{align}
10\ sin\ 2x +5 & = 0 \\
10\ sin\ 2x & = -5 \\
sin\ 2x & = \frac{-5}{10} \\
sin\ 2x & = -\frac{1}{2} \\
sin\ 2x & = sin\ 210 \\
\end{align} $
$2x=210+k \cdot 360$ atau $2x=(180-210)+k \cdot 360$
$2x=210+k \cdot 360$ atau $2x=-30+k \cdot 360$
$x=105+k \cdot 180$ atau $x=-15 +k \cdot 180$
Untuk $k=0$ kita peroleh $x=105$ atau $x=-15$
Untuk $k=1$ kita peroleh $x=285$ atau $x=165$
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=105^{\circ}$ atau $x=165^{\circ}$
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $105$ atau $165$
30. Segitiga $ABC$ dengan koordinat titik sudut $A(2,-1)$, $B(6,-2)$, dan $C(5,2)$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$. Bayangan koordinat titik sudut segitiga $ABC$ adalah...
$(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
$(B)\ A(3,4),\ B(4,0),\ C(0,1)$
$(C)\ A(-4,3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(D)\ A(-4,-3),\ B(0,-4),\ C(-1,0)$
$(E)\ A(-4,-3),\ B(0,4),\ C(1,1)$
Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $(x,y)$ sudut segitiga yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(3,1)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-3\\
y-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $A(2,-1)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-3\\
-1-1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-1\\
-2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
3\\
1
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
1+3\\
2+1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(6,-2)$ adalah $B'(0,4)$ dan bayangan titik $C(5,2)$ adalah $C'(1,0)$
*Alternatif: dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(a,b)$, sama juga dengan direfleksi dengan pusat $(a,b)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ A(4,3),\ B(0,4),\ C(1,0)$
31. Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2}-3x+1=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(2x_{1}-1)$ dan $(2x_{2}-1)$ adalah $ax^{2}+bx+c=0$. Nilai dari $2a+b-c$ adalah...
Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-3x+1=0$, kita peroleh;
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$
$x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $m=(2x_{1}-1)$ dan $n=(2x_{2}-1)$ adalah $x^{2}-(m+n)x+m \times n=0$.
$ \begin{align}
m+n & = 2x_{1}-1+2x_{2}-1 \\
& = 2(x_{1}+x_{2})-2 \\
& = 2 \left( \frac{3}{2} \right)-2 \\
& = 3-2 \\
& = 1 \end{align} $
$ \begin{align}
m \times n & = \left(2x_{1}-1 \right) \left( 2x_{2}-1 \right) \\
& = 4x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}+1 \\
& = 4x_{1}x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2} \right)+1 \\
& = 4\left(\frac{1}{2} \right)-2\left( \frac{3}{2} \right)+1 \\
& = 2-3+1 \\
& = 0 \end{align} $
Persamaan kuadrat baru adalah,
$ \begin{align}
x^{2}-(m+n)x+m \times n & = 0 \\
x^{2}-(1)x+0 & = 0 \\
x^{2}-x & = 0 \\
\text {Nilai}\ a & = 1 \\
\text {Nilai}\ b & = -1 \\
\text {Nilai}\ c & = 0 \\
\text {Nilai}\ 2a+b-c & = 1 \end{align} $
(*Soal ini memiliki jawaban lebih dari satu)
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $-1$
32. Tujuh tahun yang lalu umur Ani sama dengan $6$ kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur Ani sama dengan 5 kali umur Budi ditambah dengan $9$ tahun. Umur Budi sekarang adalah....
$(A)\ 42\ \text{tahun}$
$(B)\ 35\ \text{tahun}$
$(C)\ 21\ \text{tahun}$
$(D)\ 18\ \text{tahun}$
$(E)\ 13\ \text{tahun}$
Kita misalkan umur Ani dan Budi saat ini adalah $\text{Ani}=A$ dan $\text{Budi}=B$.
Untuk tujuh tahun yang lalu umur mereka adalah $(A-7)$ dan $(B-7)$, berlaku:
$ \begin{align}
(A-7) & = 6(B-7) \\
A-7 & = 6B-42 \\
A-6B & =-42+7 \\
A-6B & =-35\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk empat tahun yang akan datang umur mereka adalah $(A+4)$ dan $(B+4)$, berlaku:
$ \begin{align}
2(A+4) & = 5(B+4)+9 \\
2A+8 & = 5B+20+9 \\
2A+8 & = 5B+29 \\
2A-5B & =29-8 \\
2A-5B & =21\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
A -6B = -35 & \times 2 & 2A-12B = -70 & \\
2A- 5B = 21 & \times 1 & 2A-5B = 21 & - \\
\hline
& & -7B = -91 & \\
& & B = \frac{-91}{-7} & \\
& & B = 13 &
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 13\ \text{tahun}$
33. Diketahui data besar gaji seluruh karyawan di kota $X$ adalah sebagai berikut.
Jika Pak Burhan adalah salah satu dari golongan sebagian besar karyawan dengan gaji yang sama. Kemungkinan gaji Pak Burhan yan paling sesuai adalah...
$(A)\ Rp4.630.000,00$
$(B)\ Rp4.680.000,00$
$(C)\ Rp4.950.000,00$
$(D)\ Rp5.010.000,00$
$(E)\ Rp5.430.000,00$
Dari diagram batang diatas, dengan menafsir gaji yang paling tinggi adalah $Rp5.430.000,00$ dan yang paling rendah $Rp4.630.000,00$ dan kenaikan setiap diagram batang sama yaitu $Rp160.000,00$ kemungkinan gaji Pak Burhan yan paling sesuai adalah $Rp4.950.000,00$. Ilustrasi diagram batang menjadi seperti berikut ini;
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ Rp4.950.000,00$
34. Gambar di bawah ini menunjukkan jalur perjalanan dari kota $M$ ke kota $O$ melalui kota $N$.
Banyak cara perjalanan dari kota $M$ ke kota $O$ dan kembali ke kota $M$ melalui $N$ dengan ketentuan tidak melalui jalur yang sama adalah...
Dari rute perjalanan pada gambar diatas beberap informasi dapat kita peroleh, antara lain:
Perjalanan pergi dari kota $M$ ke kota $O$ melalui $N$ ada $4 \times 5=20$ cara perjalanan dan kembali tidak melalui jalur yang sama maka cara perjalanan pulang berkurang masing-masing satu jalur. Banyak cara perjalanan kembali ke kota $M$ dari kota $O$ menjadi $4 \times 3=12$ cara perjalanan.
Total banyak cara perjalanan adalah $20 \times 12=240$ cara perjalanan
$\therefore$ Jawaban yang sesuai adalah $240$
35. Nilai dari $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+6x-3}- 3x-4 \right )$ adalah...
$(A)\ -3$
$(B)\ -2$
$(C)\ -1$
$(D)\ 1$
$(E)\ 3$
$\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+6x-3}- 3x-4\right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+6x-3}- \left (3x+4 \right ) \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+6x-3}-\sqrt{ \left (3x+4 \right )^{2}} \right )$
$=\underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{9x^2+6x-3}-\sqrt{9x^2+24x+16} \right )$
$=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
$=\frac{6-24}{2\sqrt{9}}$
$=\frac{-18}{6}$
$=-3$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal limit tak hingga yang lain, silahkan disimak: Limit Menuju Tak Hingga [Contoh Soal Simak UI 2009]
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -3$
36. Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara $100$ dan $400$ yang dapat disusun dari angka-angka $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ adalah...
$(A)\ 36$
$(B)\ 48$
$(C)\ 52$
$(D)\ 60$
$(E)\ 68$
Bilangan yang akan kita susun adalah bilangan yang terdiri dari $3$ angka beda dintara $100$ dan $400$, berarti yang bisa menjadi ratusan hanya angka $1,\ 2,\ \text{dan}\ 3$.
Banyak angka jadi ratusan ada $3$,
Banyak angka jadi puluhan ada $4$,
Banyak angak jadi satuan ada $3$
Banyak bilangan adalah: $3 \times 4 \times 3=36$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 36$
37. Agen perjalanan "Lombok Menawan" menawarkan paket perjalanan wisata seperti tabel di bawah ini:
Bentuk matriks yang sesuai untuk menentukan biaya hotel tiap malam dan biaya satu tempat wisata adalah...
--- Paket I Paket II Sewa Hotel 5 6 Tempat Wisata 4 5 Biaya Total 3.100.000,00 3.000.000,00
$(A)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\
-4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$(B)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 6\\
4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$(C)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$(D)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$(E)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-4 & 5\\
5 & -6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
Dengan memisalkan Sewa Hotel=$x$ dan Tempat Wisata=$y$, maka tabel diatas jika kita sajikan dalam bentuk matrik, kurang lebih seperti berikut ini;
$5x+4y=3.100.000$
$6x+5y=3.000.000$
$\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
Untuk mendapatkan nilai $x$ dan $y$ dalam persamaan matriks, kita coba gunakan invers matriks;
$\begin{align}
A \cdot X & = B \\
A^{-1} \cdot A \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
I \cdot X & = A^{-1} \cdot B \\
X & = A^{-1} \cdot B \\
\end{align} $
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & 4\\
6 & 5
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{(5)(5)-(6)(4)}\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -4\\
-6 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
Jika masih tertarik untuk berlatih soal tentang Matriks, silahkan disimak : Matematika Dasar Simak UI tentang Matriks
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5 & -6\\
-4 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3.100.000 \\
3.000.000
\end{pmatrix}$
38. Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$(A)\ -\frac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(B)\ -\frac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(C)\ \frac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(D)\ \frac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
$(E)\ \frac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\frac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$
Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\frac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\frac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\frac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $ $(C)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \frac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
39. Diketahui $\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$(A)\ -3$
$(B)\ -2$
$(C)\ 1$
$(D)\ 2$
$(E)\ 3$
$ \begin{align}
\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\frac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\frac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [\frac{1}{3}(0)^{3}-p(0)^{2}+p(0)+2(0) \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $
(*Simak juga soal integral lainnya : Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber))
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$
40. Dari suatu kelompok diskusi yang terdiri atas $5$ pria dan $4$ wanita, akan dipilih $3$ orang secara acak untuk memaparkan hasil diskusinya. Banyak cara untuk memilih $2$ pria dan $1$ wanita adalah...
$(A)\ 18$
$(B)\ 21$
$(C)\ 30$
$(D)\ 40$
$(E)\ 80$
Akan dipilih secara acak $2$ pria dan $1$ wanita dari $5$ pria dan $4$ wanita.
Untuk memilih $2$ pria dari $5$ pria, banyak caranya adalah $C_{2}^{5}=\frac{5!}{2!(5-2)!}$
$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \frac{n!}{r!(n-r)!} \\
C_{2}^{5} & = \frac{5!}{2!(5-2)!} \\
& = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 3!} \\
& = \frac{5 \cdot 4}{2} \\
& = 10\end{align} $
Untuk memilih $1$ wanita dari $4$ wanita, banyak caranya adalah $C_{1}^{4}=\frac{4!}{1!(4-1)!}$
$\begin{align}
C_{r}^{n} & = \frac{n!}{r!(n-r)!} \\
C_{1}^{4} & = \frac{4!}{1!(4-1)!} \\
& = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} \\
& = 4 \end{align} $
Banyak cara untuk memilih $2$ pria dan $1$ wanita adalah $10 \times 4=40\
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 40$
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
){kind=link}