Bank Soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal dan Pembahasan)

Ketika akan menyelesaikan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ dapat kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$.

Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
keterangan tambahan:
$\begin{align}
\int f(x)dx & = \text{notasi integral tak tentu} \\
F(x)+c & = \text{fungsi antiturunan} \\
f(x) & = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}\\
c & = \text{konstanta} \\
d(x)&= \text{diferensial (turunan) dari}\ x
\end{align}$

Aturan Dasar Integral Tak Tentu

1. $\int dx= x + c$
2. $\int k\ dx= kx + c$
3. $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
4. $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
5. $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
6. $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
7. $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
8. $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
9. $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
10. $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
11. $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
12. $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
13. $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
14. $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
15. $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
16. $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
17. $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
18. $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
19. $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
20. $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
21. $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
22. $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
23. $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
24. $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$

Integral Parsial

$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$

Integral Tentu

Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Sifat Integral Tentu

1. $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$
2. $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$
3. $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{p}f(x)dx+\int_{p}^{b}f(x)dx$
   dimana $a \leq p \leq b $

Untuk memantapkan beberapa aturan dasar integral fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta😊.

1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(B)\ & -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$

Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $

2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)

2. Diketahui $\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
\int_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

$ \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \dfrac{3}{2}$

4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)

Diketahui $\int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 24 \dfrac{4}{6} \\
(B)\ & 24 \dfrac{3}{6} \\
(C)\ & 20 \dfrac{4}{6} \\
(D)\ & 20 \dfrac{1}{6} \\
(E)\ & 16 \dfrac{1}{6} \\
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$

5. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)

Jika $\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap

• Berlaku $f(-x)=f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat sumbu $y$
• Jika dipakai pada integral, ciri fungsi genap ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =2\int_{0}^a f(x)dx $
Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$

Sebuah fungsi dikatakan fungsi ganjil

• Berlaku $f(-x)=-f(x)$
• Bentuk grafik fungsi, simetris dengan pusat $(0,0)$
• Jika dipakai pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini adalah $\int_{-a}^a f(x)dx =0$.
Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.

Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx = 8
\end{split}
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int_{0}^4 f(x)\ dx$.
\begin{split}
\int_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{-4}^4 f(x)\ dx &= 8\\
2 \int_{0}^4 f(x)\ dx &= 8\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\
\int_{0}^4 f(x)\ dx &= 4\\

\Rightarrow \int_{-2}^4 f(x) dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + \int_{0}^4 f(x)\ dx = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx + 4 = 4\\
\Rightarrow \int_{-2}^0 f(x) dx = 0
\end{split}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 0$

6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & 10\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 11\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 13\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & 14\dfrac{2}{3}
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Keterangan pada soal jika kita gambarkan kurang lebih seperti berikut ini;

Dalam penulisan integral gambar diatas kita terjemahkan kurang lebih seperti berikut ini;
$\left | \int_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$

7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$

8. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Hasil dari $\int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ & -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ & -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ & \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$ \begin{align}
& \int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $

9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menyelesaikan $\int_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:

• karena $x=3y+3$, maka
  $ \begin{align}
  dx & = 3 dy \\
  \dfrac{1}{3}dx & = dy
  \end{align} $
• batas bawah yaitu $y=1$ mengakibatkan $x=3y+3=6$
• batas atas yaitu $y=9$ mengakibatkan $x=3y+3=30$

dari perubahan di atas, soal dapat kita tulis menjadi;
$ \begin{align}
& \int_{1}^{9} f(3y+3)\ dy \\
& = \int_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3}dx \\
& = \dfrac{1}{3} \int_{6}^{30} f(x)\ dx \\
& = \dfrac{1}{3} \times 30 \\
& = 10
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\int_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 140 \\
(B)\ & 135 \\
(C)\ & 130 \\
(D)\ & 125 \\
(E)\ & 120
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

$\int_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $




$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k & = 12 \\
k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 130$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas adalah coretan kreatif siswa pada

• lembar jawaban penilaian harian matematika,
• lembar jawaban penilaian akhir semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian soal Integral Fungsi sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mengenal salah satu matematikawan Indonesia;

Sumber https://defantri.blogspot.com/

Berbagi :