Beranda / Barisan Bilangan / Matematika SD / matematika sma / matematika smp / Olimpiade / Teori Bilangan

Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular

belajar matematika di Hari PaskahDefenisi:
Misalkan $n$ adalah suatu bilangan bulat positif, $a$ dan $b$ adalah suatu bilangan bulat.
$a$ dikatakan kongruen $b$ modulo $n$, ditulis $a \equiv b\ (mod\ n)$ jika dan hanya jika $(a-b)$ adalah kelipatan $n$.Contoh 1:Alternatif Pembahasan: show

$3 \equiv 24\ (mod\ 7)$
Benar, karena $3 – 24 = -21$ kelipatan dari $7$

Alternatif Pembahasan: show

$-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$
Benar, karena $–31 – 11 = -42$ kelipatan dari $7$

Alternatif Pembahasan: show

$-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$
Benar, karena $–15 + 64 = 49$ kelipatan dari $7$

Alternatif Pembahasan: show

$13 \equiv -1\ (mod\ 7)$
Benar, karena $13 + 1 = 14$ kelipatan dari $7$

Alternatif Pembahasan: show

$23 \equiv 3\ (mod\ 7)$
Salah, karena $23 – 3 = 20$ bukan kelipatan dari $7$

Contoh 2:Alternatif Pembahasan: show

$x \equiv 1\ (mod\ 10)$ jika dan hanya jika $x-1=10k$ Untuk setiap $k$ bilangan bulat.
Jika $k = 0, 1, 2, 3, …$ maka berturut-turut $x = 1, 11, 21, 31, ...$

Begitu pula $k = -0, -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -200, 21, 31,...$
Begitu pula $k = -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -19, -29,...$

Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian $x \equiv 1\ (mod\ 10)$ adalah
$..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31,...$

Sifat 1Alternatif Pembahasan: show

Untuk $a$ bilangan bulat sebarang dan $n$ suatu bilangan bulat positif berlaku $a – a = 0 \cdot n $.
Dengan demikian $a \equiv a\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $k$ suatu bilangan bulat.
Akibatnya
$b-a=-(a-b)$
$b-a=-(kn)$
$b-a=(-k)n$
Karena $-k$ juga suatu bilangan bulat, $b \equiv a\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$
Ada $h$ dan $k$ suatu bilangan bulat sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$.
Akibatnya:
$a-c=(a-b)+(b-c)$
$a-c=hn+kn$
$a-c=n(h+k)$
Karena $h+k$ juga bilangan, $a \equiv c\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$
Ada $h$ dan $k$ bilangan bulat sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$.
$(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$
$(a+c)-(b+d)=hn+kn$
$(a+c)-(b+d)=n(h+k)$
Karena $h+k$ juga bilangan bulat, $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$
Pandang
$ac=(b+hn)(d+kn)
$ac=bd+(bk+dh+hkn)n$
Karena $(bk+dh+hkn)$ bilangan bulat,
Ada $h$ dan $k$ bilangan bulat, $ac \equiv bd\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $h$ bilangan sehingga $a-b=hn$
Karena $(a+c)-(b+c)=a-b=hn$
dengan demikian $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

$a \equiv b\ (mod\ n)$
Ada $h$ bilangan bulat sehingga $a – b = hn $.
$ac-bc=(a-b)c=hnc=(hc)n$
Karena $hc$ bilangan bulat,
dengan demikian $ac \equiv bc\ (mod\ n)$.

Alternatif Pembahasan: show

Untuk bukti ini ita gunakan Induksi Matematika.
Untuk $k=1$, berlaku $a \equiv a\ (mod\ n)$.
Kita asumsikan $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ berlaku,
Akan ditunjukkan $a^{k+1} \equiv b^{k+1}\ (mod\ n)$ juga berlaku.

Dari sifat [5], jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$
kita ganti $c$ oleh $a^k$ dan $d$ oleh $b^k$ diperoleh;
$aa^k \equiv bb^k (mod\ n)$ atau $a^{k+1} \equiv b^{k+1} (mod\ n)$

Contoh 3:Alternatif Pembahasan: show

Tampaknya kalkulator tidak dapat digunakan untuk menemukan jawaban atas masalah yang diajukan. Untuk itu kita gunakan cara lain untuk menyelesaikan masalah ini.

Kita tahu bahwa suatu bilangan bulat positif dibagi oleh 5 mempunyai sisa 0, 1, 2, 3, atau 4.
Penggunaan aritmetika modular akan membantu kita jika kita dapat menemukan bilangan bulat terkecil yang ekuivalen dengan pangkat dari 3, dan penggunaan sifat [7] dan [8] untuk membangun $3^{100}$ dan menemukan ekuivalensi mod 5.

Kita tahu bahwa $3^{2} \equiv 4\ (mod\ 5)$
Dengan demikian,
$3^3 \equiv 3 \cdot 4 \equiv 2\ (mod\ 5)$
$3^4 \equiv 3 \cdot 2 \equiv 1\ (mod\ 5)$

Dengan menggunakan sifat [8] kita peroleh,
$(3^4)^{25} \equiv 1^{25} (mod\ 5)$, atau
$3^{100} \equiv 1 (mod\ 5)$

Jadi: $3^{100}$ dibagi oleh $5$ mempunyai sisa $1$.

Sifat 2Alternatif Pembahasan: show

Karena $ca \equiv cb\ (mod\ n)$,
$c(a – b) = ca – cb = kn$ untuk suatu bilangan bulat $k$.

Kita tahu bahwa $d = FPB(c , n)$, dengan demikian, ada bilangan bulat saling prima [relative prime] $r$ dan $s$ yang memenuhi $c = dr$, $n = ds$.

Jika hasil ini kita substitusikan ke persamaan $c(a – b) = ca – cb = kn$ maka kita peroleh $r(a – b) = ks$.

Hasil ini menunjukkan $s \mid r(a – b)$, dan karena $FPB (r , s) = 1$, diperoleh $s (a – b)$. Dengan kata lain,
$ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$

Sifat 3Sifat 3sifat 2Sifat 4Alternatif Pembahasan: show

Kondisi $p \nmid c$ dan $p$ adalah bilangan prima ini mengakibatkan $FPB\ (c,p)=1$

Contoh 4:

Perhatikan $33 \equiv 15\ (mod\ 9)$, atau $3 \cdot 11 \equiv 3 \cdot 5\ (mod\ 9)$.
Karena $FPB(3,9)=1$ mengakibatkan $11 \equiv 5\ (mod\ 9)$

Perhatikan $-35 \equiv 45\ (mod\ 8)$, atau $5 \cdot (-7) \equiv 5 \cdot 9\ (mod\ 8)$.
Karena $5$ dan $8$ bilangan bulat saling prima mengakibatkan $-7 \equiv 9\ (mod\ 8)$

silahkan download dimari

Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular

var postLabels = ["Barisan Bilangan", "Matematika SD", "matematika sma", "matematika smp", "Olimpiade", "Teori Bilangan", ]; var relatedConfig = { postUrl: "https://materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html", homePageUrl: "https://materbelajarlengkap.blogspot.com/", relatedTitleText: "Anda mungkin menyukai postingan ini :", }; //<![CDATA[ "use strict";var bacaJugaJudul=[],bacaJugaNum=0,bacaJugaUrl=[];function bacaJuga(a){for(var u=0;u<a.feed.entry.length;u++){var e=a.feed.entry[u];bacaJugaJudul[bacaJugaNum]=e.title.$t;for(var l=0;l<e.link.length;l++)if("alternate"==e.link[l].rel){bacaJugaUrl[bacaJugaNum]=e.link[l].href,bacaJugaNum++;break}}}function showBacaJuga(a){var u=document.querySelector("#baca-juga"),e=document.createElement("div"),l=document.querySelector(".post-body-artikel").querySelectorAll("div > br, span > br, div > p, span > p"),t=Math.ceil(.5*l.length),r=document.getElementById("related");e.setAttribute("class","baca-juga-wrap");var g={bacaJuga:!0,jumlahBacaJuga:3,judulBacaJuga:"Baca Juga"};for(var n in vioMagzSetting)"undefined"!=vioMagzSetting[n]&&(g[n]=vioMagzSetting[n]);function c(a,u){u.parentNode.insertBefore(a,u.nextSibling)}var i;if(!0===g.bacaJuga&&void 0!==l[t]){c(u,null!==r?r:l[t]);for(var J=0;J<bacaJugaUrl.length;J++)bacaJugaUrl[J]==a&&(bacaJugaUrl.splice(J,1),bacaJugaJudul.splice(J,1));var o=Math.floor((bacaJugaJudul.length-1)*Math.random()),J=0;if(0<bacaJugaJudul.length&&0<g.jumlahBacaJuga){u.appendChild(e),null!=(i=u.previousElementSibling)&&"BR"===i.tagName&&(i.style.display="none");for(var b="<strong>"+g.judulBacaJuga+"</strong><ul>";J<bacaJugaJudul.length&&J<g.jumlahBacaJuga;J++)b+='<li><a href="'+bacaJugaUrl[o]+'">'+bacaJugaJudul[o]+"</a></li>",o<bacaJugaJudul.length-1?o++:o=0;b+="</ul>",e.innerHTML=b}}} //]]> showBacaJuga("https://materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html"); //<![CDATA[ "use strict";function LMmiddleAds(i){var e=i.querySelector(".post-body-artikel"),r=e.querySelectorAll("div > br, span > br, div > p, span > p"),n=Math.ceil(.2*r.length),t=Math.ceil(.7*r.length),l=i.querySelector("#iklan-tengah1 .widget-content"),o=i.querySelector("#iklan-tengah2 .widget-content"),a=i.querySelector("#iklan-atas .widget-content"),d=i.querySelector("#iklan-bawah .widget-content"),c=e.querySelector("#iklan1"),u=e.querySelector("#iklan2");null!=a&&"\n"!=a.innerHTML&&e.insertBefore(a,e.childNodes[0]),null!=d&&"\n"!=d.innerHTML&&e.appendChild(d);function s(e,n,t){function l(e,n){void 0!==n&&n.parentNode.insertBefore(e,n.nextSibling)}1<r.length?(null!=e&&"\n"!=e.innerHTML&&l(e,null!==n?n:r[t]),function(){for(var e,n=i.querySelectorAll(".post-body-artikel .widget-content"),t=0;t<n.length;t++)null!==(e=n[t].previousElementSibling)&&"BR"===e.tagName&&(e.style.display="none")}()):e.parentNode.removeChild(e)}s(l,c,n),s(o,u,t)}LMmiddleAds(document); function matchedAds(){var e,n,t={iklanMatched:!0};for(var d in vioMagzSetting)"undefined"!=vioMagzSetting[d]&&(t[d]=vioMagzSetting[d]);e=document.querySelector("#ms-matched-content"),n=document.querySelector("#matched-content .widget-content"),null!=e?1==t.iklanMatched&&null!=n&&"\n"!=n.innerHTML&&e.appendChild(n):n.parentNode.removeChild(n)}matchedAds(); //]]> //<![CDATA[ /* Sticky-kit v1.1.2 | WTFPL | Leaf Corcoran | http://leafo.net */ (function(){var z=this.jQuery||window.jQuery,I=z(window);z.fn.stick_in_parent=function(t){var w,_,s,i,C,e,j,x,Q,T,$;for(null==t&&(t={}),$=t.sticky_class,C=t.inner_scrolling,T=t.recalc_every,Q=t.parent,x=t.offset_top,j=t.spacer,_=t.bottoming,null==x&&(x=0),null==Q&&(Q=void 0),null==C&&(C=!0),null==$&&($="is_stuck"),w=z(document),null==_&&(_=!0),s=function(o,n,r,c,l,a,u,d){var f,t,p,h,g,k,m,y,s,b,v,e;if(!o.data("sticky_kit")){if(o.data("sticky_kit",!0),g=w.height(),m=o.parent(),null!=Q&&(m=m.closest(Q)),!m.length)throw"failed to find stick parent";if(f=p=!1,(v=null!=j?j&&o.closest(j):z("<div />"))&&v.css("position",o.css("position")),(y=function(){var t,s,i;if(!d&&(g=w.height(),t=parseInt(m.css("border-top-width"),10),s=parseInt(m.css("padding-top"),10),n=parseInt(m.css("padding-bottom"),10),r=m.offset().top+t+s,c=m.height(),p&&(f=p=!1,null==j&&(o.insertAfter(v),v.detach()),o.css({position:"",top:"",width:"",bottom:""}).removeClass($),i=!0),l=o.offset().top-(parseInt(o.css("margin-top"),10)||0)-x,a=o.outerHeight(!0),u=o.css("float"),v&&v.css({width:o.outerWidth(!0),height:a,display:o.css("display"),"vertical-align":o.css("vertical-align"),float:u}),i))return e()})(),a!==c)return h=void 0,k=x,b=T,e=function(){var t,s,i,e;if(!d&&(i=!1,null!=b&&(--b<=0&&(b=T,y(),i=!0)),i||w.height()===g||y(),i=I.scrollTop(),null!=h&&(s=i-h),h=i,p?(_&&(e=c+r<i+a+k,f&&!e&&(f=!1,o.css({position:"fixed",bottom:"",top:k}).trigger("sticky_kit:unbottom"))),i<l&&(p=!1,k=x,null==j&&("left"!==u&&"right"!==u||o.insertAfter(v),v.detach()),t={position:"",width:"",top:""},o.css(t).removeClass($).trigger("sticky_kit:unstick")),C&&((t=I.height())<a+x&&!f&&(k-=s,k=Math.max(t-a,k),k=Math.min(x,k),p&&o.css({top:k+"px"})))):l<i&&(p=!0,(t={position:"fixed",top:k}).width="border-box"===o.css("box-sizing")?o.outerWidth()+"px":o.width()+"px",o.css(t).addClass($),null==j&&(o.after(v),"left"!==u&&"right"!==u||v.append(o)),o.trigger("sticky_kit:stick")),p&&_&&(null==e&&(e=c+r<i+a+k),!f&&e)))return f=!0,"static"===m.css("position")&&m.css({position:"relative"}),o.css({position:"absolute",bottom:n,top:"auto"}).trigger("sticky_kit:bottom")},s=function(){return y(),e()},t=function(){if(d=!0,I.off("touchmove",e),I.off("scroll",e),I.off("resize",s),z(document.body).off("sticky_kit:recalc",s),o.off("sticky_kit:detach",t),o.removeData("sticky_kit"),o.css({position:"",bottom:"",top:"",width:""}),m.position("position",""),p)return null==j&&("left"!==u&&"right"!==u||o.insertAfter(v),v.remove()),o.removeClass($)},I.on("touchmove",e),I.on("scroll",e),I.on("resize",s),z(document.body).on("sticky_kit:recalc",s),o.on("sticky_kit:detach",t),setTimeout(e,0)}},i=0,e=this.length;i<e;i++)t=this[i],s(z(t));return this}}).call(this),$(function(){$('a[href="#searchfs"]').on("click",function(t){t.preventDefault(),$("#searchfs").addClass("open"),$('#searchfs > form > input[type="search"]').focus()}),$("#searchfs, #searchfs button.close").on("click keyup",function(t){t.target!=this&&"close"!=t.target.className&&27!=t.keyCode||$(this).removeClass("open")})}),function(e){e.fn.menumaker=function(t){var s=e(this),i=e.extend({format:"dropdown",sticky:!1},t);return this.each(function(){e(this).find(".button").on("click",function(){e(this).toggleClass("menu-opened");var t=e(this).next("ul");t.hasClass("open")?t.slideToggle(150).removeClass("open"):(t.slideToggle(150).addClass("open"),"dropdown"===i.format&&t.find("ul").show())}),s.find("li ul").parent().addClass("has-sub"),multiTg=function(){s.find(".has-sub").prepend('<span class="submenu-button"></span>'),s.find(".submenu-button").on("click",function(){e(this).toggleClass("submenu-opened"),e(this).siblings("ul").hasClass("open")?e(this).siblings("ul").removeClass("open").slideToggle(150):e(this).siblings("ul").addClass("open").slideToggle(150)})},"multitoggle"===i.format?multiTg():s.addClass("dropdown"),!0===i.sticky&&s.css("position","fixed")})}}(jQuery),function(t){t(document).ready(function(){t("#cssmenu").menumaker({format:"multitoggle"})})}(jQuery),jQuery(document).ready(function(){var t=jQuery(window).width();function s(){jQuery("#sidebar-sticky").stick_in_parent({parent:"#wrapper",offset_top:70})}t<768?jQuery("#sidebar-sticky").trigger("sticky_kit:detach"):s(),jQuery(window).resize(function(){(t=jQuery(window).width())<768?jQuery("#sidebar-sticky").trigger("sticky_kit:detach"):s()})}); $(window).scroll(function(){200<$(this).scrollTop()?$("#back-to-top").fadeIn():$("#back-to-top").fadeOut()}),$("#back-to-top").hide().click(function(){return $("html, body").animate({scrollTop:0},1e3),!1}); //]]> //<![CDATA[ var msRelatedPosts,msRandomIndex;!function(){"use strict";var b={postUrl:"https://viomagz.sugeng.id",homePageUrl:"https://viomagz.sugeng.id",relatedTitleOuterOpen:'<div class="related-title"><p class="ms-title">',relatedTitleOuterClose:"</p></div>",relatedTitleText:"Artikel Terkait",thumbWidth:192,thumbHeight:108,imgBlank:"data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABAAAAAJCAYAAAA7KqwyAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAAlwSFlzAAAD6AAAA+gBtXtSawAAABl0RVh0U29mdHdhcmUAd3d3Lmlua3NjYXBlLm9yZ5vuPBoAAAAYSURBVCiRY0xISOBgoAAwUaJ51IBhYwAAuQABOsYCprwAAAAASUVORK5CYII=",relatedOuter:"ms-related-post"};for(var e in relatedConfig)"undefined"!=relatedConfig[e]&&(b[e]=relatedConfig[e]);var R={relatedPosts:!0,jumlahRelatedPosts:4,relatedPostsThumb:!0,judulRelatedPosts:b.relatedTitleText,relatedPostsNoThumbImg:"https://1.bp.blogspot.com/-aR5w9KXuWGU/XhSDNRAVuhI/AAAAAAAAHG8/dLxcaZxSgh0v85JG0mWRMQyEwqMgpL1_gCLcBGAsYHQ/w192-h108-c/no-image.jpg"};for(var t in vioMagzSetting)"undefined"!=vioMagzSetting[t]&&(R[t]=vioMagzSetting[t]);function r(e){var t=document.createElement("script");t.src=e,document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(t)}function P(e){var t,a,l=e.length;if(0===l)return!1;for(;--l;)t=Math.floor(Math.random()*(l+1)),a=e[l],e[l]=e[t],e[t]=a;return e}var d="object"==typeof postLabels&&0<postLabels.length?"/-/"+P(postLabels)[0]:"";msRelatedPosts=function(e){var t,a,l,s,r,d,i,o,n,m=b.relatedTitleOuterOpen+R.judulRelatedPosts+b.relatedTitleOuterClose,h=document.getElementById(b.relatedOuter),u=P(e.feed.entry);1==R.relatedPostsThumb?m+='<ul class="ms-related-hasthumb">':m+='<ul class="ms-related-nothumb">';for(var A=0;A<u.length;A++)for(var g=0,c=u[A].link.length;g<c;g++)u[A].link[g].href==b.postUrl&&u.splice(A,1);if(0<u.length){for(var f=0;f<R.jumlahRelatedPosts&&f<u.length;f++){a=u[f].title.$t,void 0!==u[f].content&&(r=(s=u[f].content.$t).indexOf("<img",0));var p=function(e){l=e.replace(/.*?:\/\//g,"//").replace(/(\/s[0-9]+(\-c)?|\/w[0-9]+(\-h)[0-9]+()?|\/d)+(\/)/,"/w"+b.thumbWidth+"-h"+b.thumbHeight+"-c/")};"media$thumbnail"in u[f]?p(u[f].media$thumbnail.url):void 0!==r&&-1!==r?(d=s.indexOf("/>",r),o=(i=s.slice(r,d)).indexOf("src=",0)+5,n=i.indexOf('"',o),p(i.slice(o,n))):l=R.relatedPostsNoThumbImg;for(var v=0,c=u[f].link.length;v<c;v++)t="alternate"==u[f].link[v].rel?u[f].link[v].href:"#";m+='<li><a title="'+a+'" href="'+t+'">'+(1==R.relatedPostsThumb?'<div class="related-thumb-outer"><img alt="'+a+'" class="lazyload related-thumb" src="'+b.imgBlank+'" data-src="'+l+'" width="'+b.thumbWidth+'" height="'+b.thumbHeight+'"></div>':"")+('<div class="related-title-outer">'+a+"</div>")+"</a></li>"}1==R.relatedPosts&&(h.innerHTML=m+="</ul>")}},msRandomIndex=function(e){var t,a=R.jumlahRelatedPosts+1,l=e.feed.openSearch$totalResults.$t-a,s=(t=0<l?l:1,Math.floor(Math.random()*(t-1+1))+1);r(b.homePageUrl.replace(/\/$/,"")+"/feeds/posts/default"+d+"?alt=json-in-script&orderby=updated&start-index="+s+"&max-results="+a+"&callback=msRelatedPosts")},r(b.homePageUrl.replace(/\/$/,"")+"/feeds/posts/summary"+d+"?alt=json-in-script&orderby=updated&max-results=0&callback=msRandomIndex")}(); //]]> //<![CDATA[ var media_loaded=function(a){a.className+=" shown",a.classList.remove("blur-up")};deferimg("img.lazyload",80,"lazied",media_loaded); //]]> //<![CDATA[ protected_links = ""; (function() { var sl = document.createElement('script'); sl.type = 'text/javascript'; sl.async = true; sl.src = 'https://cdn.jsdelivr.net/gh/xmithzyl/safelink@masters/a/2.js'; (document.getElementsByTagName('head')[0] || document.getElementsByTagName('body')[0]).appendChild(sl); })(); //]]> window['__wavt'] = 'AOuZoY4zdsJsVOmWV9I3142FwerSiII34w:1728487199168';_WidgetManager._Init('//www.blogger.com/rearrange?blogID\x3d233611983464159197','//materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html','233611983464159197'); _WidgetManager._SetDataContext([{'name': 'blog', 'data': {'blogId': '233611983464159197', 'title': 'Materi Belajar', 'url': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html', 'canonicalUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html', 'homepageUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/', 'searchUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/search', 'canonicalHomepageUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/', 'blogspotFaviconUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/favicon.ico', 'bloggerUrl': 'https://www.blogger.com', 'hasCustomDomain': false, 'httpsEnabled': true, 'enabledCommentProfileImages': true, 'gPlusViewType': 'FILTERED_POSTMOD', 'adultContent': false, 'analyticsAccountNumber': '', 'encoding': 'UTF-8', 'locale': 'id', 'localeUnderscoreDelimited': 'id', 'languageDirection': 'ltr', 'isPrivate': false, 'isMobile': false, 'isMobileRequest': false, 'mobileClass': '', 'isPrivateBlog': false, 'isDynamicViewsAvailable': true, 'feedLinks': '\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22Materi Belajar - Atom\x22 href\x3d\x22https://materbelajarlengkap.blogspot.com/feeds/posts/default\x22 /\x3e\n\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/rss+xml\x22 title\x3d\x22Materi Belajar - RSS\x22 href\x3d\x22https://materbelajarlengkap.blogspot.com/feeds/posts/default?alt\x3drss\x22 /\x3e\n\x3clink rel\x3d\x22service.post\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22Materi Belajar - Atom\x22 href\x3d\x22https://www.blogger.com/feeds/233611983464159197/posts/default\x22 /\x3e\n\n\x3clink rel\x3d\x22alternate\x22 type\x3d\x22application/atom+xml\x22 title\x3d\x22Materi Belajar - Atom\x22 href\x3d\x22https://materbelajarlengkap.blogspot.com/feeds/6119536452731869519/comments/default\x22 /\x3e\n', 'meTag': '', 'adsenseHostId': 'ca-host-pub-1556223355139109', 'adsenseHasAds': false, 'adsenseAutoAds': false, 'boqCommentIframeForm': true, 'loginRedirectParam': '', 'view': '', 'dynamicViewsCommentsSrc': '//www.blogblog.com/dynamicviews/4224c15c4e7c9321/js/comments.js', 'dynamicViewsScriptSrc': '//www.blogblog.com/dynamicviews/803d6d2765a79702', 'plusOneApiSrc': 'https://apis.google.com/js/platform.js', 'disableGComments': true, 'interstitialAccepted': false, 'sharing': {'platforms': [{'name': 'Dapatkan link', 'key': 'link', 'shareMessage': 'Dapatkan link', 'target': ''}, {'name': 'Facebook', 'key': 'facebook', 'shareMessage': 'Bagikan ke Facebook', 'target': 'facebook'}, {'name': 'BlogThis!', 'key': 'blogThis', 'shareMessage': 'BlogThis!', 'target': 'blog'}, {'name': 'Twitter', 'key': 'twitter', 'shareMessage': 'Bagikan ke Twitter', 'target': 'twitter'}, {'name': 'Pinterest', 'key': 'pinterest', 'shareMessage': 'Bagikan ke Pinterest', 'target': 'pinterest'}, {'name': 'Email', 'key': 'email', 'shareMessage': 'Email', 'target': 'email'}], 'disableGooglePlus': true, 'googlePlusShareButtonWidth': 0, 'googlePlusBootstrap': '\x3cscript type\x3d\x22text/javascript\x22\x3ewindow.___gcfg \x3d {\x27lang\x27: \x27id\x27};\x3c/script\x3e'}, 'hasCustomJumpLinkMessage': false, 'jumpLinkMessage': 'Baca selengkapnya', 'pageType': 'item', 'postId': '6119536452731869519', 'postImageUrl': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/search?q\x3dbelajar-modulo-dengan-cara-sederhana', 'pageName': 'Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular', 'pageTitle': 'Materi Belajar: Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular'}}, {'name': 'features', 'data': {}}, {'name': 'messages', 'data': {'edit': 'Edit', 'linkCopiedToClipboard': 'Tautan disalin ke papan klip!', 'ok': 'Oke', 'postLink': 'Tautan Pos'}}, {'name': 'template', 'data': {'name': 'custom', 'localizedName': 'Khusus', 'isResponsive': true, 'isAlternateRendering': false, 'isCustom': true}}, {'name': 'view', 'data': {'classic': {'name': 'classic', 'url': '?view\x3dclassic'}, 'flipcard': {'name': 'flipcard', 'url': '?view\x3dflipcard'}, 'magazine': {'name': 'magazine', 'url': '?view\x3dmagazine'}, 'mosaic': {'name': 'mosaic', 'url': '?view\x3dmosaic'}, 'sidebar': {'name': 'sidebar', 'url': '?view\x3dsidebar'}, 'snapshot': {'name': 'snapshot', 'url': '?view\x3dsnapshot'}, 'timeslide': {'name': 'timeslide', 'url': '?view\x3dtimeslide'}, 'isMobile': false, 'title': 'Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular', 'description': ' modulo dengan cara sederhana atau belajar matematika di Hari Paskah . Karena dari kedua diskusi sebelumnya, konsep yang digunakan masih sa...', 'featuredImage': 'https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ucmkKiGTVo1QQftuQChw-PhmQhIIFKngo2KErl1CDftebnXHcFvihShBFbDGT3CGgpzKYcbtbU6ZT2v1kdMFa6bGqGvEJEaj_WSjhoVvAnOM5Ey7usLpZ2jV5aiIox3gN0HtIg4hGFGFCMkHJGuw9WeR-Jilp5532x', 'url': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/2015/10/panduan-pemula-belajar-aritmetika.html', 'type': 'item', 'isSingleItem': true, 'isMultipleItems': false, 'isError': false, 'isPage': false, 'isPost': true, 'isHomepage': false, 'isArchive': false, 'isLabelSearch': false, 'postId': 6119536452731869519}}, {'name': 'widgets', 'data': [{'title': 'Kode Pengaturan Template', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'template-settings', 'id': 'HTML711'}, {'title': 'Custom CSS', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'custom-css', 'id': 'HTML712'}, {'title': 'Materi Belajar (Header)', 'type': 'Header', 'sectionId': 'header', 'id': 'Header1'}, {'title': 'Menu Navigasi', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'navmenu', 'id': 'HTML642'}, {'title': 'Widget Bawah Header', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'bellow-header-widget', 'id': 'HTML619'}, {'title': 'Widget Bawah Header 2', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'bellow-header-widget2', 'id': 'HTML616'}, {'title': 'Widget Atas Posting', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'above-post-widget', 'id': 'HTML421'}, {'title': 'Postingan Blog', 'type': 'Blog', 'sectionId': 'main', 'id': 'Blog1', 'posts': [{'id': '6119536452731869519', 'title': 'Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular', 'featuredImage': 'https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ucmkKiGTVo1QQftuQChw-PhmQhIIFKngo2KErl1CDftebnXHcFvihShBFbDGT3CGgpzKYcbtbU6ZT2v1kdMFa6bGqGvEJEaj_WSjhoVvAnOM5Ey7usLpZ2jV5aiIox3gN0HtIg4hGFGFCMkHJGuw9WeR-Jilp5532x', 'showInlineAds': false}], 'footerBylines': [{'regionName': 'footer1', 'items': [{'name': 'icons', 'label': ''}]}], 'allBylineItems': [{'name': 'icons', 'label': ''}]}, {'title': 'Iklan Atas Artikel', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'iklan-atas', 'id': 'HTML996'}, {'title': 'Iklan Tengah Artikel 1', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'iklan-tengah1', 'id': 'HTML997'}, {'title': 'Iklan Tengah Artikel 2', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'iklan-tengah2', 'id': 'HTML998'}, {'title': 'Iklan Bawah Artikel', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'iklan-bawah', 'id': 'HTML999'}, {'title': 'Kode Iklan Matched Content', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'matched-content', 'id': 'HTML939'}, {'title': 'Kode Iklan In-Feed', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'iklan-infeed', 'id': 'HTML952'}, {'title': 'Artikel Terbaru', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'sidebar', 'id': 'HTML2'}, {'title': 'Artikel Lainnya', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'sidebar-sticky', 'id': 'HTML1'}, {'title': 'Menu Halaman Statis', 'type': 'PageList', 'sectionId': 'footer-navmenu', 'id': 'PageList1'}, {'title': 'Footer', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'footer-container', 'id': 'HTML781'}, {'title': 'Custom JavaScript Footer', 'type': 'HTML', 'sectionId': 'custom-javascript-footer', 'id': 'HTML782'}]}]); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML711', 'template-settings', document.getElementById('HTML711'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML712', 'custom-css', document.getElementById('HTML712'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HeaderView', new _WidgetInfo('Header1', 'header', document.getElementById('Header1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML642', 'navmenu', document.getElementById('HTML642'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML619', 'bellow-header-widget', document.getElementById('HTML619'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML616', 'bellow-header-widget2', document.getElementById('HTML616'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML421', 'above-post-widget', document.getElementById('HTML421'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_BlogView', new _WidgetInfo('Blog1', 'main', document.getElementById('Blog1'), {'cmtInteractionsEnabled': false, 'lightboxEnabled': true, 'lightboxModuleUrl': 'https://www.blogger.com/static/v1/jsbin/297329198-lbx.js', 'lightboxCssUrl': 'https://www.blogger.com/static/v1/v-css/13464135-lightbox_bundle.css'}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML996', 'iklan-atas', document.getElementById('HTML996'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML997', 'iklan-tengah1', document.getElementById('HTML997'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML998', 'iklan-tengah2', document.getElementById('HTML998'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML999', 'iklan-bawah', document.getElementById('HTML999'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML939', 'matched-content', document.getElementById('HTML939'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML952', 'iklan-infeed', document.getElementById('HTML952'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML2', 'sidebar', document.getElementById('HTML2'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML1', 'sidebar-sticky', document.getElementById('HTML1'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_PageListView', new _WidgetInfo('PageList1', 'footer-navmenu', document.getElementById('PageList1'), {'title': 'Menu Halaman Statis', 'links': [{'isCurrentPage': false, 'href': 'https://materbelajarlengkap.blogspot.com/', 'title': 'Beranda'}], 'mobile': false, 'showPlaceholder': true, 'hasCurrentPage': false}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML781', 'footer-container', document.getElementById('HTML781'), {}, 'displayModeFull')); _WidgetManager._RegisterWidget('_HTMLView', new _WidgetInfo('HTML782', 'custom-javascript-footer', document.getElementById('HTML782'), {}, 'displayModeFull'));