Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)

Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.

Soal yang terkadang jadi masalah seperti yang disebutkan di atas adalah salah satu contoh masalah penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada saat belajar lingkaran di SMP, sehingga soal-soal seperti di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk SMA tertentu.

Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada saat seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya seperti berikut ini:

Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 8.600\ cm \\
(B).\ & 860\ cm \\
(C).\ & 86\ cm \\
(D).\ & 8,6\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Sebagai ilustrasi tambahan, kita beri titik-titik tambahan pada gambar agar menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas lebih mudah. Kurang lebih seperti berikut ini:

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat mendatar, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:

Satu Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat sebuah lingkaran yang berdiameter $d$ adalah $\pi \times d$ atau sama dengan menghitung keliling lingkaran.

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$

Kesimpulan yang dapat kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $1,\ 2,\ 3, \cdots n$ buah lingkaran disusun secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar diatas:

• Untuk $1$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$
• Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
• Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
  $\vdots$
• Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi lingkaran diikat bertingkat, posisi lingkaran kita ilustrasikan seperti beberapa gambar berikut ini:

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah lingkaran secara mendatar yang berdiameter $d$ seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan karena $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$

Lima Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$

Enam Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah lingkaran yang berdiameter $d$ disusun bertingkat seperti gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan adalah $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$

Kesimpulan yang dapat kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $2,\ 3,\ 4,\ \cdots n$ buah lingkaran disusun bertingkat berdiameter $d$ seperti gambar diatas:

• Untuk $2$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
• Untuk $3$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 3 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
• Untuk $4$ lingkaran $p=\left( \pi\ + 5 \right)d$
  $\vdots$
• Untuk $n$ lingkaran $p=\left( \pi\ + n \right)d$

Sebagai penutup, coba kita diskusikan soal berikut dan soal ini pernah diujikan pada Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN) tahun 1993 pada Rayon A.

Soal UMPTN 1993 (Rayon A) (*Soal Lengkap)

Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat erat seperti pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 9d \\
(B)\ & 3+ \dfrac{\pi}{2}d \\
(C)\ & (6+\pi)d \\
(D)\ & (6+\dfrac{3}{4}\pi)d \\
(D)\ & (12+2\pi)d
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang diperlukan untuk mengikat enam pipa adalah $(6 + \pi)d$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ (6+\pi)d$

Ada masukan yang sifatnya membangun terkait masalah Panjang Tali Minimum Yang Mengikat Beberapa Pipa (Lingkaran), silahkan disampaikan😊😊 dan Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;

Sumber https://defantri.blogspot.com/

Berbagi :