Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal dan Pembahasan Paket B)
Ujian Nasional berbasis komputer sudah semakin dekat. Salah satu cara untuk melihat bagaimana tingkat pemahaman kita terhadap materi-materi yang sudah dipelajari adalah dengan coba membahas soal-soal simulasi UNBK.Soal-soal UNBK nanti memang $100\%$ tidak sama dengan soal-soal simulasi, tetapi soal simulasi UNBK ini menjadi tolak ukur dasar dalam mempelajari soal-soal yang akan diujikan pada ujian nasional. Meskipun soal UNBK nanti tidak sama persis dengan soal simulasi berikut ini tetapi aturan-aturan dasar atau teorema-teorema dalam mengerjakan soal secara umum masih sama, terkhusus dalam pelajaran matematika. Sehingga soal-soal simulasi UNBK ini sangat baik dijadikan latihan dasar sebagai latihan dalam bernalar.
Kemampuan bernalar dapat naik jika dilatih dengan baik, kemapuan bernalar saat ini sangat jadi perhatian, apalagi karena perkembangan soal UNBK yang akan memakai beberapa soal HOTS (High Order Thinking Skils). Salah satu cara untuk dapat menyelesaikan soal HOTS adalah setidaknya kita sudah bisa memakai teorema-teorema dasar atau aturan dasar dalam mengerjakan soal sederhana atau soal LOTS (Low Order Thinking Skils), dimana untuk menyelesaikan hanya sekedar mensubstitusi variabel-variabel dari rumus-rumus yang ada.
Berikut mari kita coba soal simulasi UNBK Matematika IPA 2019 paket B. Jangan lupa untuk berlatih juga dari soal simulasi UNBK Matematika IPA 2019 paket C dan soal simulasi UNBK Matematika IPA 2019 paket A, mari berlatih dan berdiskusi😉😊
1. Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2}-(6-m)x+m=0$ mempunyai dua akar real berbeda. Batasan nilai $m$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & m \lt -18\ \text{atau}\ m \gt 2 \\
(B).\ & m \lt -18\ \text{atau}\ m \gt -2 \\
(C).\ & m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18 \\
(D).\ & 2 \lt m \lt 18 \\
(E).\ & -18 \lt m \lt -2
\end{align}$
Untuk persamaan kuadrat yang mempunyai dua akar real beda maka diskriminan lebih dari nol.
$\begin{align}
2x^{2}-(6-m)x+m & = 0 \\
2x^{2}+(-6+m)x+m & = 0 \\
D & \gt 0 \\
b^{2}-4ac & \gt 0 \\
(-6+m)^{2}-4(2)(m)& \gt 0 \\
m^{2}-12m+36-8m & \gt 0 \\
m^{2}-20m+36 & \gt 0 \\
(m-18)(m-2) & \gt 0 \\
[m=18] & [m=2] \\
m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18
\end{align}$
(*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ m \lt 2\ \text{atau}\ m \gt 18$
2. Bentuk sederhana dari $\dfrac{log\ p^{3}q-2\ log\ q + log\ p^{2}q^{6}}{3\ log\ pq}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{5}{2} log\ pq \\
(B).\ & \dfrac{2}{5} log\ pq \\
(C).\ & \dfrac{2}{5} \\
(D).\ & \dfrac{3}{5} \\
(E).\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$
Untuk menyederhanakan bentuk aljabar pada soal di atas, kita perlu mengetahui sifat-sifat dasar logaritma.
$\begin{align}
& \dfrac{log\ p^{3}q-2\ log\ q + log\ p^{2}q^{6}}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{log\ p^{3}q- log\ q^{2} + log\ p^{2}q^{6}}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{log\ \dfrac{p^{3}q}{q^{2}}+ log\ p^{2}q^{6}}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{log\ p^{3}q^{-1}+ log\ p^{2}q^{6}}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{log\ \left (p^{3}q^{-1}\cdot p^{2}q^{6} \right )}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{log\ \left (pq\right )^{5}}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{5\ log\ pq}{3\ log\ pq} \\
& = \dfrac{5}{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \dfrac{5}{3}$
3. Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.
Grafik tersebut memotong sumbu $X$ di titik...
$\begin{align}
(A).\ & (-2,0)\ \text{dan}\ (6,0) \\
(B).\ & (-1,0)\ \text{dan}\ (6,0) \\
(C).\ & (-1,0)\ \text{dan}\ (5,0) \\
(D).\ & (1,0)\ \text{dan}\ (5,0) \\
(E).\ & (1,0)\ \text{dan}\ (6,0)
\end{align}$
Untuk menentukan titik potong kurva dengan sumbu $X$, maka kita perlu ketahui persamaan kurva. Kurva pada gambar melalui titik puncak $(2,9)$ dan sebuah titik sembarang $(0,5)$.
Jika diketahui Titik Puncak $(x_{p},y_{p})$ dan sebuah titik sembarang $(x,y)$ maka FK adalah:
$\begin{align}
y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
5 & = a\left (0 -2\right)^{2}+9 \\
5-9 & = 4a \\
\dfrac{-4}{4} & = a \\
-1 & = a
\end{align}$
Persamaan kurva
$\begin{align}
y & = a\left (x -x_{p}\right)^{2}+y_{p} \\
y & = (-1) \left (x - 2 \right)^{2}+9 \\
y & = (-1) \left (x^{2} - 4x+4 \right)+9 \\
y & = -x^{2} + 4x-4+9 \\
y & = -x^{2} + 4x+5 \\
\end{align}$
Memotong sumbu $X$, maka $y=0$:
$\begin{align}
0 & = -x^{2} + 4x+5 \\
0 & = x^{2} - 4x-5 \\
0 & = (x-5)(x+1) \\
& x=5\ \text{atau}\ x=-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ (-1,0)\ \text{dan}\ (5,0)$
4. Alas suatu kotak tanpa tutup persegi dengan panjang sisi $x\ cm$ dan tinggi $t\ cm$, seta volume $4.000\ cm^{3}$. Luas permukaan kotak minimum adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 1.200\ cm^{2} \\
(B).\ & 800\ cm^{2} \\
(C).\ & 600\ cm^{2} \\
(D).\ & 400\ cm^{2} \\
(E).\ & 200\ cm^{2} \\
\end{align}$
Volume kotak adalah luas alas $\times$ tinggi, dimana alas kotak berupa persegi dengan panjang sisi $x$ dan tinggi kotak adalah sebesar $t$, sebagai ilustrasi jika kotak kita buka akan tampak pada gambar berikut.
$\begin{align}
V & = x^{2} \times t \\
4000 & = x^{2} \times t \\
\dfrac{4000}{x^{2}} & = t
\end{align}$
Luas permukaan kotak adalah:
$\begin{align}
L & = x^{2} + 4 \times xt \\
& = x^{2} + 4 \times x \left( \dfrac{4.000}{x^{2}} \right) \\
& = x^{2} + \dfrac{16.000}{x} \\
\end{align}$
Biaya minimum ketika:
$\begin{align}
L'(x) & = 0 \\
2x - \dfrac{16.000}{x^{2}} & = 0 \\
2x & = \dfrac{16.000}{x^{2}} \\
2x^{3} & = 16.000 \\
x^{3} & = 8.000 \\
x & = 20
\end{align}$
Luas minimum saat $x=20$
$\begin{align}
L(x) & = x^{2} + \dfrac{16.000}{x} \\
L(20) & = 20^{2} + \dfrac{16.000}{20} \\
& = 400 + 800 \\
& = 1.200
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 1.200\ cm^{2}$
5. Fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ naik pada interval...
$\begin{align}
(A).\ & -2 \lt x \lt 1 \\
(B).\ & -2 \lt x \lt -1 \\
(C).\ & 1 \lt x \lt 2 \\
(D).\ & x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
(E).\ & x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 \\
\end{align}$
Syarat suatu fungsi akan naik adalah turunan pertama lebih dari nol,
turunan pertama $f(x)$ adalah $f'(x)=6x^{2}-18x+12$
$ \begin{align}
f'(x) & \gt 0 \\
x^{2}-3x+2 & \gt 0 \\
(x-1)(x-2) & \gt 0 \\
\left[x=1 \right] &\ \left[x=2 \right] \\
x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2 &
\end{align}$
(*Jika masih kesulitan menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat)
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2$
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,6)$ dan melalui titik $(2,8)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x^{2}+y^{2}+4x-12y-40=0 \\
(B).\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y+36=0 \\
(C).\ & x^{2}+y^{2}+4x+12y-40=0 \\
(D).\ & x^{2}+y^{2}-4x-12y+36=0 \\
(E).\ & x^{2}+y^{2}-10x-10y+40=0
\end{align}$
Untuk membentuk persamaan lingkaran setidaknya ada 2 hal dasar harus kita ketahui, yaitu titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Pada soal disampaikan titik pusat lingkaran $P(2,6)$ dan lingkaran melalui titik $(2,8)$, artinya jari-jari lingkaran adalah jarak titik pusat ke titik yang dilalui lingkaran.
$ \begin{align}
r & = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}+x_{2}-x_{1})^{2}} \\
& =\sqrt{(8-6)^{2}+(2-2)^{2}} \\
& =\sqrt{4+0} \\
& =2
\end{align} $
Persamaan lingkaran engan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$ adalah:
$ \begin{align}
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}& =r^{2} \\
(x-2)^{2}+(y-6)^{2}& =2^{2} \\
x^{2}-4x+4+y^{2}-12y+36 & =4 \\
x^{2}+y^{2}-4x-12y+36 & = 0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ x^{2}+y^{2}-4x-12y+36=0$
7. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y=0$ yang tegak lurus dengan garis $x+2y+4=0$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 2x+y-9=0 \\
(B).\ & 2x+y+9=0 \\
(C).\ & 2x-y-9=0 \\
(D).\ & 2x-y-1=0 \\
(E).\ & 2x+y+1=0
\end{align}$
Persamaan garis singgung pada lingkaran yang dicari pada soal adalah PGS lingkaran jika diketahui gradiennya karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y-6=0$.
Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $x+2y+4=0$ maka gradien garis $x+2y+4=0$ ($m=-\frac{1}{2}$) dikali gradien garis singgung lingkaran adalah $-1$.
$m \times\ -\frac{1}{2}=-1$
$m =2$
Persamaan Garis Singgung Lingkaran $ x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0$ jika diketahui gradiennya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}}$.
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y=0$ kita peroleh pusat lingkaran yaitu $(1,-2)$ dan $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - C}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$.
$\begin{align}
y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^{2}} \\
y +2 & = 2(x-1) \pm \sqrt{5} \sqrt{1 + (2)^2} \\
y +2 & = 2x-2 \pm \sqrt{5} \sqrt{5} \\
y +2 & = 2x-2 \pm 5 \\
y & = 2x-4 \pm 5 \\
\text{(PGS 1) }:y & = 2x-4+5 \\
2x-y+1 & = 0 \\
\text{(PGS 2) }:y & = 2x-4-5 \\
2x-y-9 & = 0
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Lingkaran [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 2x-y-9=0$
8. Persamaan garis singgung kurva $y=2x^{2}-x+1$ dan sejajar dengan garis $5x+y=6$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 5x-y+1=0 \\
(B).\ & 5x-y-1=0 \\
(C).\ & 5x+y+1=0 \\
(D).\ & x+5y+1=0 \\
(E).\ & x+5y-1=0
\end{align}$
Garis singgung kurva sejajar dengan garis $x-y=5$ maka gradien garis $5x+y=6$ ($m=-5$) sama dengan gradien garis singgung kurva yaitu $m=-5$.
Untuk mendapatkan persamaan garis singgung kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=2x^{2}-x+1$ gradiennya adalah $m=-5$, sehingga:
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-x+1 \\
m=y' & = 4x-1 \\
-5 & = 4x-1 \\
-4 & = 4x \\
x & = -1 \\
y & = 2x^{2}-x+1 \\
y & = 2(-1)^{2}-(-1)+1 \\
y & = 4
\end{align} $
Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(-1,4)$ dengan gradien $m=-5$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-4 & = -5 (x-(-1)) \\
y-4 & = -5 (x+1) \\
y & = -5x-5+4 \\
y & = -5x-1
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Persamaan Garis [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 5x+y+1=0$
9. Diketahui fungsi $f(x)=2x^{3}-4$ dan $g(x)=x-3$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ adalah $h'(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2x^{3}+18x^{2}+4x-4 \\
(B).\ & 6x^{3}-18x^{2}-4x \\
(C).\ & 6x^{3}-12x^{2}+6x+4 \\
(D).\ & 8x^{3}-18x^{2}+-4 \\
(E).\ & 8x^{3}-18x^{2}-4x+8
\end{align}$
Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah:
$ \begin{align}
h'(x) & = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\
& =\left( 6x^{2} \right) \left( x-3 \right)+\left( 2x^{3}-4 \right)\left( 1 \right) \\
& = 6x^{3}-18x^{2} + 2x^{3}-4 \\
& = 8x^{3}-18x^{2} -4
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Turunan [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 8x^{3}-18x^{2}-4$
10. Diketahui $f(x)=2x+3$ dan $(fog)(x)=17-10x$. Nilai dari $g^{-1}(2)=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & 2 \\
(B).\ & \dfrac{9}{5} \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & -1 \\
(E).\ & -\dfrac{9}{5}
\end{align}$
Berdasarkan informmasi pada soal, diketahui $(fog)(x)=17-10x$ maka
$ \begin{align}
f \left (g(x) \right ) & = 17-10x \\
2 g \left (x \right )+3 & = 17-10x \\
2 g \left (x \right ) & = 17-10x-3 \\
g \left (x \right ) & = \dfrac{14-10x}{2}
\end{align} $
Invers fungsi $g(x)$ adalah $g^{-1}(x)$, salah satu cara menentukan $g^{-1}(x)$ yaitu:
$ \begin{align}
y & = \dfrac{14-10x}{2} \\
2y & = 14-10x \\
10x & = 14-2y \\
x & = \dfrac{14-2y}{10} \\
g^{-1}(x) & = \dfrac{14-2x}{10} \\
g^{-1}(2) & = \dfrac{14-2(2)}{10} \\
& = 1
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: FKFI [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 1$
11. Tiga tahun yang lalu, umur Didin $20$ tahun lebih tua dari umur Fadhil. Sedangkan lima tahun yang kan datang, umur Didin menjadi $3$ kali umur fadhil. Jumlah umur mereka sekarang adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 45\ \text{tahun} \\
(B).\ & 40\ \text{tahun} \\
(C).\ & 30\ \text{tahun} \\
(D).\ & 25\ \text{tahun} \\
(E).\ & 20\ \text{tahun}
\end{align}$
Kita misalkan umur Didin dan Fadhil saat ini adalah $\text{Didin}=D$ dan $\text{Fadhil}=F$.
Untuk tiga tahun yang lalu umur mereka adalah $(D-3)$ dan $(F-3)$, berlaku:
$ \begin{align}
(D-3) & = (F-3)+20 \\
D-F & = 20\ \text{(Pers.1)}
\end{align} $
Untuk lima tahun yang akan datang umur mereka adalah $(D+5)$ dan $(F+5)$, berlaku:
$ \begin{align}
(D+5) & = 3(F+5) \\
(D+5) & = 3F+15 \\
D-3F & = 15-5 \\
D-3F & = 10\ \text{(Pers.2)}
\end{align} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
D-F = 20 & \\
D-3F = 10 & - \\
\hline
& 2F = 10 \\
& F = 5 \\
& D = 25 \\
\end{array} $
Jumlah umur mereka sekarang $25+5=30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 30$
12. Di sebuah toko, Dani membayar $Rp2.700,00$ untuk membeli $3$ jarum dan $4$ benang sedangkan Naili membayar $Rp3.600,00$ untuk pembelian $6$ jarum dan $2$ benang. Jika Nafisa membeli $1$ jarum dan $1$ benang, ia harus membayar sebesar...
$\begin{align}
(A).\ & Rp540,00 \\
(B).\ & Rp720,00 \\
(C).\ & Rp800,00 \\
(D).\ & Rp960,00 \\
(E).\ & Rp1.100,00
\end{align}$
Dengan memakai pemisalan $\text{harga 1 jarum}=a$ dan $\text{harga 1 benang}=b$,
Harga $3$ jarum dan $4$ benang adalah $Rp2.700$
$3a+4b=2.700$ (*Pers.1)
Harga $6$ jarum dan $2$ benang adalah $Rp3.600$
$6a+2b=3.600$ (*Pers.2)
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+4b = 2.700 & \\
6a+2b = 3.600 & \\
\hline
\end{array} $
Dari (Pers.1) dan (Pers.2) kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+4b = 2.700 & \times 2 & 6a+8b = 5.400 & \\
6a+2b = 3.600 & \times 1 & 6a+2b = 3.600 & - \\
\hline
& & 6b = 1.800 & \\
& & b = \frac{1.800}{6} & \\
& & b = 300 &
\end{array} $
Untuk $b = 300$ maka
$\begin{array}{c|c|cc}
3a+4b &= 2.700 \\
3a+4(300) &= 2.700 \\
3a+1.200 &= 2.700 \\
3a &= 1.500 \\
a &= 500
\end{array} $
Harga $1$ jarum dan $1$ benang adalah $500+300=800$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ Rp800,00$
13. Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & 0
\end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix}
4 & 3\\
1 & 2
\end{pmatrix}$. Invers dari matriks $AB$ adalah $(AB)^{-1}=\cdots$
$\begin{align}
(A).\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-6}{30} & \dfrac{-3}{10} \\
\dfrac{-8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix} \\
(B).\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-6}{30} & \dfrac{1}{10} \\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix} \\
(C).\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{-6}{30} & \dfrac{3}{30}\\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix} \\
(D).\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{6}{30} & \dfrac{1}{10} \\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{-1}{30}
\end{pmatrix} \\
(E).\ & \begin{pmatrix}
\dfrac{6}{30} & \dfrac{1}{10} \\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix}
\end{align}$
$\begin{align}
AB &= \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
2 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
4 & 3\\
1 & 2
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-4+3 & -3+6\\
8+0 & 6+0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
8 & 6
\end{pmatrix}
\end{align} $
$\begin{align}
AB &= \begin{pmatrix}
-1 & 3\\
8 & 6
\end{pmatrix} \\
AB^{-1} &= \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-6-24}\begin{pmatrix}
6 & -3\\
-8 & -1
\end{pmatrix} \\
&= \dfrac{1}{-30} \begin{pmatrix}
6 & -3\\
-8 & -1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
\dfrac{-6}{30} & \dfrac{3}{30}\\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix}
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Matriks [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ \begin{pmatrix}
\dfrac{-6}{30} & \dfrac{3}{30}\\
\dfrac{8}{30} & \dfrac{1}{30}
\end{pmatrix}$
14. Nilai $(N)$ peserta pelatihan di suatu kegiatan dihitung berdasarkan kehadiran $(H)$ selama pelatihan dengan fungsi $N(H)=\dfrac{2H+107}{3}$. Sedangkan kehadiran dihitung berdasarkan banyaknya modul $(M)$ kegiatan yang diikuti peserta selama pelatihan dengan fungsi $H(M)=3M+2$. Jika Hadi adalah salah satu peserta pelatihan tersebut dan mengikuti $75\%$ dari 20 modul kegiatan yang disediakan, nilai yang diperoleh Hadi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 70 \\
(B).\ & 69 \\
(C).\ & 68 \\
(D).\ & 67 \\
(E).\ & 66
\end{align}$
Banyak modul yang dikuti Hadi adalah $70\%$ dari $20$ sehingga banyak modul yang diikuti Hadi adalah $15$ atau $M=15$.
Untuk $M=15$, berdasarkan fungsi $H(M)=3M+2$, maka $H(15)=3(15)+2=47$.
Untuk $H=47$, berdasarkan fungsi $N(H)=\dfrac{2H+107}{3}$, maka $N(47)=\dfrac{2(47)+107}{3}=\dfrac{201}{3}=67$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 67$
15. Diketahui segitiga siku-siku $PQR$ dengan $cos\ R=\dfrac{15}{17}$ ($P$ dan $R$ sudut lancip). Nilai dari $(1+ sec\ R)(1-sec\ P)$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{12}{5} \\
(B).\ & \dfrac{3}{5} \\
(C).\ & -\dfrac{3}{5} \\
(D).\ & -\dfrac{11}{5} \\
(E).\ & -\dfrac{12}{5} \\
\end{align}$
Sebagai ilustrasi segitiga siku-siku $KLM$ dapat digambarkan sebagai berikut:
Dengan menggunkan teorema phytagoras dapat kita hitung, $PQ$ yaitu:
$\begin{align}
PQ^{2} & = PR^{2}- QR^{2} \\
& = 17^{2}- 15^{2} \\
& = 289 - 225 \\
& = 64 \\
PQ & = \sqrt{64}=8
\end{align}$
$\begin{align}
& \left( 1+ sec\ R \right) \left( 1-sec\ P \right) \\
& = \left( 1+ sec\ R \right) \left( 1-sec\ P \right) \\
& = \left( 1+ \dfrac{1}{cos\ R} \right) \left( 1- \dfrac{1}{cos\ P} \right) \\
& = \left( 1+ \dfrac{17}{15} \right) \left( 1- \dfrac{17}{8} \right) \\
& = \left( \dfrac{32}{15} \right) \left(\dfrac{-9}{8} \right) \\
& = \dfrac{-12}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ -\dfrac{12}{5}$
16. Seorang siswa diberikan tugas untuk mengukur tinggi sebuah gedung dengan menggunakan klinometer. Pada awal berdiri melihat ujung atas gedung terlihat jarum jam pada $45^{\circ}$. Kemudian mendekati gedung sejauh $20$ meter dan terlihat pada klinometer dengan sudut $60^{\circ}$. Tinggi gedung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & (30 + 30\sqrt{3})\ m \\
(B).\ & (30 + 10\sqrt{3})\ m \\
(C).\ & (10 + 10\sqrt{3})\ m \\
(D).\ & (20 + 5\sqrt{3})\ m \\
(E).\ & (20 + \sqrt{3})\ m
\end{align}$
Untuk mempermudah istilah pada gambar, titik-titik sudut kita beri nama sebagai berikut;
$\begin{align}
tan\ 45 & = \dfrac{CD}{AC} \\
1 & = \dfrac{CD}{AC} \\
AC & = CD \\
tan\ 60 & = \dfrac{CD}{BC} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{CD}{BC} \\
BC \sqrt{3} & = CD
\end{align}$
$\begin{align}
AC & = BC \sqrt{3} \\
BC+20 & = BC \sqrt{3} \\
BC \sqrt{3}-BC & = 20 \\
BC ( \sqrt{3} - 1 ) & = 20 \\
BC & = \dfrac{20}{\sqrt{3} - 1} \times \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \\
& = \dfrac{20\sqrt{3} + 20}{3 - 1} \\
& = \dfrac{20\sqrt{3} + 20}{2} \\
& = 10\sqrt{3} + 10
\end{align}$
Tinggi gedung adalah $CD=BC+20=10 + 10\sqrt{3}+20=30 + 10\sqrt{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ (30 + 10\sqrt{3})\ m$
17. Diketahui kubus $PQRS.TUVW$. Sudut antara garis $SV$ dan garis $PT$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 30^{\circ} \\
(B).\ & 45^{\circ} \\
(C).\ & 60^{\circ} \\
(D).\ & 90^{\circ} \\
(E).\ & 145^{\circ} \\
\end{align}$
Untuk mempermudah melihat sudut kedua garis pada kubus, kita perhatikan gambar berikut ini;
Kita pilih garis $SV$ sampai ke $PU$, sehingga sudut $PU$ dan $PT$ adalah sudut yang akan kita cari. Dengan menggunakan bantuan persegi $PQUT$ dimana $PU$ adalah diagonal persegi sehingga sudut antara $PU$ dan $PT$ adalah $45^{\circ}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ 45^{\circ}$
18. Setelah maka siang, Joni meninggalkan kantin menuju kelasnya yang terletak di gedung $A$. Dari kantin, joni harus menempuh $20\ m$ ke utara dan $15\ m$ ke barat menuju ke gedung $A$. Sesampainya di gedung tersebut, joni harus naik $10\ m$ ke atas karena kelas Joni berada di lantai dua. Jarak antara kantin ke kelas Joni adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 45\ m \\
(B).\ & 35\ m \\
(C).\ & 25\sqrt{21}\ m \\
(D).\ & 5\sqrt{29}\ m \\
(E).\ & 5\ m
\end{align}$
Lintasan berjalan Joni jika kita ilustrasikan kurang lebih seperti berikut ini:
Pada segitiga $(Ka)UB$ berlaku
$\begin{align}
(Ka)B^{2} & = (Ka)U^{2}+UB^{2} \\
& = 20^{2}+15^{2} \\
& = 400 +225 \\
& = 625 \\
(Ka)B & = 25
\end{align}$
Pada segitiga $(Ka)B(Ke)$ berlaku
$\begin{align}
(Ka)(Ke){2} & = (Ka)B^{2}+B(Ke)^{2} \\
& = 25^{2}+10^{2} \\
& = 625 +100 \\
& = 725 \\
(Ka)(Ke) & = \sqrt{725}=5\sqrt{29}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 5\sqrt{29}\ m$
19. Diketahui segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(2,7)$, $B(5,3)$, dan $C(-1,4)$. Jika segitiga $ABC$ dirotasi sejauh $180^{\circ}$ pada pusat rotasi $(2,4)$, koordinat bayangan segitiga $ABC$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & A'(2,-1),\ B'(-1,5),\ C'(-5,-4) \\
(B).\ & A'(2,1),\ B'(-1,5),\ C'(5,4) \\
(C).\ & A'(2,2),\ B'(-1,1),\ C'(-5,4) \\
(D).\ & A'(2,-1),\ B'(-1,-5),\ C'(-5,4) \\
(E).\ & A'(2,-1),\ B'(-1,5),\ C'(5,4) \\
\end{align}$
Bayangan titik $(x,y)$yang di rotasi dirotasi sejauh $\theta$ dengan pusat $(a,b)$ kita tentukan dengan matriks;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ \theta & -sin\ \theta\\
sin\ \theta & cos\ \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-a\\
y-b
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\
b
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $(x,y)$ yang di rotasi dirotasi sejauh $180^{\circ}$ dengan pusat $(2,4)$ adalah;
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
cos\ 180 & -sin\ 180\\
sin\ 180 & cos\ 180
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-2\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x-2\\
y-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
Bayangan titik $A(2,7)$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2-2\\
7-4
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0\\
3
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
2\\
4
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
0+2\\
-3+4
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
1
\end{pmatrix}$
Dengan cara yang sama bayangan titik $B(5,3)$ adalah $B'(-1,5)$ dan bayangan titik $C(-1,4)$ adalah $C'(5,4)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ A'(2,1),\ B'(-1,5),\ C'(5,4)$
20. Nilai dari $ \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+7x-5}- x-5 \right )$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -2 \\
(B).\ & -\dfrac{3}{2} \\
(C).\ & 1 \\
(D).\ & \dfrac{1}{2} \\
(E).\ & \dfrac{3}{2} \\
\end{align}$
$ \begin{align}
& \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+7x-5}- x-5\right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+7x-5}- \left (x+5 \right ) \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+7x-5}-\sqrt{ \left (x+5 \right )^{2}} \right ) \\
& = \underset{x \to \infty}{lim} \left ( \sqrt{x^2+7x-5}-\sqrt{x^2+10x+25} \right ) \\
& = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& = \frac{7-10}{2\sqrt{1}} \\
& = \frac{-3}{2}
\end{align} $
(*Jika tertarik untuk berlatih lagi tentang Matematika Dasar: Limit Takhingga [Soal SBMPTN dan Pembahasan])
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ -\dfrac{3}{2}$
21. Tanti ingin membuat hiasan di kamarnya dari selembar kertas yang berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisinya $12\ cm$. Untuk membuat hiasan tersebut, pada awalnya Tanti mewarnai seluruh permukaan segitiga dengan warna merah dan tahap demi setahap mewarnai bagian di dalamnya tersebut dengan warna putih seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:
Panjang sisi dari segitiga warna putih terpendek adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 6\ cm \\
(B).\ & 3\sqrt{3} \\
(C).\ & 3\ cm \\
(D).\ & 1\dfrac{1}{2} cm \\
(E).\ & \dfrac{3}{4}\ cm
\end{align}$
Panjang sisi segitiga yang pertama (terbesar) adalah $12\ cm$ dan
luasnya adalah $L=\dfrac{1}{2} (12)(12) sin 60$, $L=36\sqrt{3}$
Luas segitiga yang kedua (lebih kecil dari yang pertama) adalah $L=\dfrac{1}{4} (36\sqrt{3})=9\sqrt{3}$
sehingga berlaku:
$\begin{align}
9\sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) sin 60 \\
9\sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
36 & = s^{2} \\
6 & = s
\end{align}$
Luas segitiga yang ketiga (lebih kecil dari yang kedua) adalah $L=\dfrac{1}{4} (9\sqrt{3})=\dfrac{9}{4} \sqrt{3}$
sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{9}{4} \sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) sin 60 \\
\dfrac{9}{4} \sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
\dfrac{36}{4} & = s^{2} \\
3 & = s
\end{align}$
Luas segitiga yang keempat (pada gambar adalah yang terkecil) adalah $L=\dfrac{1}{4} (\dfrac{9}{4} \sqrt{3})=\dfrac{9}{16} \sqrt{3}$
sehingga berlaku:
$\begin{align}
\dfrac{9}{16} \sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) sin 60 \\
\dfrac{9}{16} \sqrt{3} & = \dfrac{1}{2} (s)(s) \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
\dfrac{36}{16} & = s^{2} \\
\dfrac{6}{4} & = s
\end{align}$
Jiak kita perhatikan pola perubahan panjang sisi segitiga diatas mengikuti pola deret geoemetri yaitu $12,\ 6,\ 3,\ \dfrac{6}{4}, \cdots$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 1\dfrac{1}{2} cm$
22. Suku ke-8 suatu deret aritmatika adalah $20$ dan jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 adalah $4$. Jumlah $20$ suku pertama deret adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 500 \\
(B).\ & 600 \\
(C).\ & 720 \\
(D).\ & 810 \\
(E).\ & 920
\end{align}$
Catatan deret aritmatika untuk menyelesaikan soal diatas adalah suku ke-$n$ yaitu $U_{n}=a=(n-1)b$ dan jumlah $n$ suku pertama yaitu $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)$ atau $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$
Suku ke-8 deret aritmatika adalah 20, berlaku:
$\begin{align}
U_{8} & = 20 \\
a+7b & = 20
\end{align}$
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-16 adalah $26$, berlaku:
$\begin{align}
U_{2} + U_{5} & = 4 \\
a+b + a+4b & = 4 \\
2a+5b & = 4
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
2a+5b = 4 & (\times 1) \\
a+7b=20 & (\times 2) \\
\hline
2a+5b = 4 & \\
2a+14b=40 & - \\
\hline
9b = 36 &\\
b = 4 &\\
a = 7(4)-20=8 &
\end{array} $
Jumlah $20$ suku pertama deret adalah:
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right) \\
S_{20} & = \dfrac{20}{2} \left(2(8)+(20-1)(4) \right) \\
& = 10 \left(16+76 \right) \\
& = 920
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 920$
23. Hasil dari $\int 2x\ \sqrt{2x^{2}+1}\ dx$ adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{2x^{2}+1} + C\\
(B).\ & \dfrac{3}{4} \left ( 2x^{2}+1 \right )^{2} +\sqrt{2x^{2}+1} + C \\
(C).\ & \dfrac{3}{4} \left ( 2x^{2}+1 \right ) +\sqrt{2x^{2}+1} + C \\
(D).\ & \dfrac{1}{3} \left ( 2x^{2}+1 \right )^{2} +\sqrt{2x^{2}+1} + C \\
(E).\ & \dfrac{1}{3} \left ( 2x^{2}+1 \right ) +\sqrt{2x^{2}+1} + C
\end{align}$
Hasil $\int 2x\ \sqrt{2x^{2}+1}\ dx$ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$\begin{align}
u & = 2x^{2}+1 \\
\dfrac{du}{dx} & = 4x \\
du & = 4x\ dx \\
\dfrac{1}{2} du & = 2x\ dx
\end{align}$
Soal diatas, kini bisa kita rubah menjadi;
Misal:
$\begin{align}
& \int 2x\ \sqrt{2x^{2}+1}\ dx \\
& = \int \left ( 2x^{2}+1 \right )^{\dfrac{1}{2}}\ 2x\ dx \\
& = \int \left ( u \right )^{\dfrac{1}{2}}\ \dfrac{1}{2} du \\
& = \dfrac{1}{2} \int \left ( u \right )^{\dfrac{1}{2}}\ du \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \left ( u \right )^{\dfrac{3}{2}}\ + C \\
& = \dfrac{1}{3} \left ( 2x^{2}+1 \right )^{\dfrac{3}{2}}\ + C
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ \dfrac{1}{3} \left ( 2x^{2}+1 \right ) +\sqrt{2x^{2}+1} +C$
24. Diketahui $\int_{0}^{2} \left ( px^{2}+2x-1 \right ) dx=-\dfrac{10}{3}$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A).\ & -3 \\
(B).\ & -2 \\
(C).\ & -1 \\
(D).\ & 2 \\
(E).\ & 3
\end{align}$
$ \begin{align}
\int_{0}^{2} \left ( px^{2}+2x-1 \right ) dx & = -\dfrac{10}{3} \\
\left [\dfrac{p}{3}x^{3}+x^{2}-x \right ]_{0}^{2} & = -\dfrac{10}{3} \\
\left [\dfrac{p}{3}(2)^{3}+(2)^{2}-(2) \right ]-\left [\dfrac{p}{3}(0)^{3}+(0)^{2}-(0) \right ] & = -\dfrac{10}{3} \\
\left [\dfrac{8p}{3}+4-2 \right ]- \left [ 0 \right ]& = -\dfrac{10}{3} \\
\dfrac{8p}{3}+2 & = -\dfrac{10}{3} \\
\dfrac{8p}{3} & = -\dfrac{10}{3}-2 \\
8p & = -10-6 \\
p & = \dfrac{-16}{8}=-2
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B).\ -2$
25. Daerah yang diarsir pada grafik berikut merupakan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan adalah...
Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai adalah...
$\begin{align}
(A).\ & x+2y \leq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(B).\ & x+2y \leq 6;\ 5x+3y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(C).\ & x+2y \geq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(D).\ & x+2y \geq 6;\ 5x+3y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0 \\
(E).\ & x+2y \leq 6;\ 3x+5y \geq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0
\end{align}$
Untuk menentukan sistem pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar, pertama kita harus mendapatkan sistem persamaannya atau batas-batas daerah yang diarsir.
Pada gambar diatas ada 4 garis yang membatasi daerah yang diarsir, coba kita berikan ilustrasinya;
- $I:\ 3x+6y=18\ \rightarrow\ x+2y=6$
- $II:\ 5x+3y=15$
- $III:\ y=0$
- $IV:\ x=0$
Untuk menentukan pertidaksamaannya, kita tentukan dengan titik uji. Kita pilih sebuah titik pada daerah yang merupakan himpunan penyelesaian atau daerah yang diarsir pada gambar.
- Titik $(0,0)$ ke $x+2y=6$ diperoleh $ 0 \leq 12 $, maka pertidaksamaannya adalah $ x+2y \leq 6 $.
- Titik $(0,0)$ ke $5x+3y=15$ diperoleh $ 0 \leq 15 $, maka pertidaksamaannya adalah $ 5x+3y \leq 15 $.
- Untuk batas $III$ dan $IV$ daerah yang diarsir adalah daerah $x \geq 0;\ y \geq 0$
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ x+2y \leq 6;\ 5x+3y \leq 15;\ x \geq 0;\ y \geq 0$
26. Dalam sehari seorang anak membutuhkan $20$ unit vitamin A dan $5$ unit vitamin $B$, ada dua jenis tablet yang dapat dikonsumsi. tablet jenis pertama mengandung $5$ unit vitamin A dan $2$ unit vitamin B, sedangkan tablet kedua menagndung $10$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Jika harga pertama tablet pertam $Rp4.000,00$/buah dan tablet kedua $Rp6.000,00$/buah, pengeluaran minimum per hari untuk pembelian tablet adalah...
$\begin{align}
(A).\ & Rp12.000,00 \\
(B).\ & Rp14.000,00 \\
(C).\ & Rp16.000,00 \\
(D).\ & Rp18.000,00 \\
(E).\ & Rp20.000,00
\end{align}$
Informasi yang ada pada soal coba kita rangkum dalam bentuk tabel, dengan memisalkan banyak tablet $\text{pertama}\ =x$ dan $\text{kedua}\ =y$ maka kurang lebih menjadi seperti berikut ini;
| Jenis tablet | Vitamin A | Vitamin B |
| Pertama ($x$) | $5$ | $2$ |
| kedua ($y$) | $10$ | $1$ |
| keperluan | $20$ | $5$ |
Dari tabel diatas, dapat kita bentuk sistem pertidaksamaannya;
$\begin{align}
5x+10y & \geq 20 \\
\left( x+2y \geq 4 \right) & \\
2x+y & \geq 5 \\
x & \geq 0 \\
y & \geq 0
\end{align} $
Trik untuk melihat atau menentukan daerah Himpunan Penyelesaian dapat dengan melihat koefisien $y$.Jika kita gambarkan ilustrasi daerah Himpunan Penyelesaian sistem pertidaksamaan diatas adalah;
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\leq$ maka daerah HP berada di bawah garis.
- Jika koefisien $y$ positif dan tanda $\geq$ maka daerah HP berada di atas garis.
- titik $(4,0)$ maka $P=4.000 (4)+6.000(0)=16.000$
- titik $(2,1)$ maka $P=4.000 (2)+6.000(1)=14.000$ titik $(2,1)$ kita peroleh dengan mengeliminasi atau substitusi garis 1 dan garis 2
- titik $(0,5)$ maka $P=4.000 (0)+6.000(5)=30.000$
27. Seorang siswa diminta mengerjakan $7$ soal dari $10$ soal ulangan, tetapi soal nomor genap harus di pilih. Banyak cara untuk memilih butir soal adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 18\ \text{cara} \\
(B).\ & 16\ \text{cara} \\
(C).\ & 14\ \text{cara} \\
(D).\ & 12\ \text{cara} \\
(E).\ & 10\ \text{cara}
\end{align}$
Dari 10 soal pilihan yang akan dikerjakan adalah $7$ tetapi nomor genap harus dikerjakan, maka pilihan hanya tinggal $2$ dari $5$ yang ada.
Banyak cara memilih butir soal adalah
$\begin{align}
_{n}C_{r} & = \dfrac{n!}{r! (n-r)!} \\
_{5}C_{2} & = \dfrac{5!}{2! (5-3)!} \\
& = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! (5-2)!} \\
& = 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E).\ 10\ \text{cara}$
28. Satu keluarga yang terdiri atas $10$ orang akan berpergian dengan $2$ mobil yang masing-masing berkapasitas $6$ orang dan $7$ orang. Jika setiap mobil harus berisi sekurang-kurangnya $4$ orang, banyak cara mereka menempati 2 mobil tersebut adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 420\ \text{cara} \\
(B).\ & 462\ \text{cara} \\
(C).\ & 504\ \text{cara} \\
(D).\ & 672\ \text{cara} \\
(E).\ & 1.008\ \text{cara} \\
\end{align}$
Coba kita susun kemungkinan isi mobil I dan mobil II dalam bentuk pasangan terurut $(6,4),\ (5,5),\ (4,6)$
Banyak kemungkina isi mobil hanya berada pada tiga kemungkinan sehingga total keseluruhan adalah:
$\begin{align}
& _{10}C_{6} \times _{4}C_{4} + _{10}C_{5} \times _{5}C_{5} +_{10}C_{4} \times _{6}C_{6} \\
& = 210 \times 1 + 252 \times 1 + 210 \times 1 \\
& = 627
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D).\ 672\ \text{cara}$
29. Susunan pengurus kelas terdiri dari ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara, dan sesi rohani. Ketentuan yang disepakati adalah ketua, wakil ketua dan sesi rohani diisi siswa laki-laki, sedangkan sekretaris dan bendahara adalah perempuan. Jika ada $5$ orang laki-laki dan $4$ perempuan yang akan dipilih, banyak susunan pengurus kelas yang bisa dibentuk adalah...
$\begin{align}
(A).\ & 720\ \text{susunan} \\
(B).\ & 360\ \text{susunan} \\
(C).\ & 180\ \text{susunan} \\
(D).\ & 120\ \text{susunan} \\
(E).\ & 60\ \text{susunan}
\end{align}$
Tempat yang akan diisi adalah $[\, K \,] \, [\, W \,] \, [\, R \,] \, [\, S \,] \, [\, B \,]$
Banyak susunan yang mungkin adalah $5 \times 4 \times 3 \times 4 \times 3$ atau sama dengan $720$ susunan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ 720\ \text{susunan}$
30. Kotak I berisi $2$ bola merah dan $3$ bola putih, sedangkan kotak II berisi $5$ bola merah dan $3$ bola putih. Dari kedua kotak tersebut secara diambil secara acak masing-masing sebuah bola. Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah...
$\begin{align}
(A).\ & \dfrac{5}{40} \\
(B).\ & \dfrac{3}{16} \\
(C).\ & \dfrac{3}{20} \\
(D).\ & \dfrac{1}{5} \\
(E).\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Peluang sebuah kejadian $E$ adalah $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}$
Pada kotak I, merah=2 dan putih=3
Peluang terambil bola merah dari kotak I
$\begin{align}
P(M_{I}) & = \dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$
Pada kotak II, merah=5 dan putih=3
Peluang terambil bola putih dari kotak II
$\begin{align}
P(P_{II}) & = \dfrac{n(E_{II})}{n(S_{II})} \\
& = \dfrac{3}{8}
\end{align}$
Peluang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II
$\begin{align}
P(E) & =P(M_{I}) \times P(P_{II}) \\
& =\dfrac{n(E_{I})}{n(S_{I})} \times \dfrac{n(E_{II})}{n(E_{II})} \\
& =\dfrac{2)}{5} \times \dfrac{3}{8} \\
& =\dfrac{6)}{40} = \dfrac{3)}{20}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(c).\ \dfrac{3}{20}$
31. Diberikan Histogram sebagai berikut:
Gambar ogive dari histogram tersebut adalah...
Dari histogram yang disajikan pada gambar, dapat kita buat ogive positif dan ogive negatif. Untuk membuat ogive kita membutuhkan distribusi frekuensi relatif. Kita sajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
| Tabel distribusi Frekuensi | |||
|---|---|---|---|
| Kelas | Frekuensi | $f_{k} \leq$ | $f_{k} \geq$ |
| $12-16$ | $6$ | $\leq 11,5: 0$ | $\geq 11,5: 44$ |
| $17-21$ | $8$ | $\leq 16,5: 6$ | $\geq 16,5: 38$ |
| $22-26$ | $12$ | $\leq 21,5: 14$ | $\geq 21,5: 30$ |
| $27-31$ | $10$ | $\leq 26,5: 26$ | $\geq 26,5: 18$ |
| $32-36$ | $5$ | $\leq 31,5: 36$ | $\geq 31,5: 8$ |
| $37-41$ | $3$ | $\leq 36,5: 41$ | $\geq 36,5: 3$ |
| $42-46$ | $0$ | $\leq 41,5: 44$ | $\geq 41,5: 0$ |
| Jumlah | $44$ | $-$ | $-$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)$
32. Modus dari data pada Histogram adalah...
$\begin{align}
(A)\ 72,00 \\
(B)\ 72,5 \\
(C)\ 73,5 \\
(D)\ 75,5 \\
(E)\ 77,5
\end{align}$
Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau frekuensi yang paling besar.
Untuk data tunggal modus suatu data mudah ditemukan, tetapi untuk data berkelompok modus data sedikit lebih indah.
Modus data berkelompok dirumuskan seperti berikut ini;
$Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c$
dimana;
- $Tb_{mo}:$Tepi bawah kelas modus, dan Kelas modus adalah kelas dengan frekuensi paling besar.
- Dari histogram terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas $70-79$ dengan frekuensi $10$, maka kelas modusnya adalah kelas ke-4 dengan interval $70-79$; $(Tb_{mo} = 69,5)$;
- $d_1:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelum kelas modus; $(d_{1}=10-7=3)$;
- $d_2:$ Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudah kelas modus; $(d_{2}=10-8=2)$;
- $c:$ Panjang Kelas $(c=79,5-69,5=10)$;
Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) c \\
& = 69,5 + \left( \frac{3}{3 + 2} \right) \cdot 10 \\
& = 69,5 + \left( \frac{3}{5} \right) \cdot 10 \\
& = 69,5 + \frac{30}{5} \\
& = 69,5 + 6 \\
& = 75,5
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 75,5$
33. Tabel berikut menyatakan data nilai ujian matematika di suatu sekolah.
Kuartil bawah data tersebut adalah...
Nilai Frekuensi $30-39$ $1$ $40-49$ $3$ $50-59$ $11$ $60-69$ $20$ $70-79$ $44$ $80-89$ $32$ $90-99$ $9$
$\begin{align}
(A)\ & 68,0 \\
(B)\ & 67,0 \\
(C)\ & 66,0 \\
(D)\ & 65,0 \\
(E)\ & 64,0
\end{align} $
Kuartil adalah suatu nilai pembatas yang membagi data menjadi empat bagian yang sama besar setelah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar.
Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama $(Q_{1})$ yang disebut juga kuartil bawah, Kuartil kedua $(Q_{2})$ yang disebut juga median atau nilai tengah, dan Kuartil ketiga $(Q_{3})$ yang disebut juga kuartil atas.
Data pada tabel dapat kita hitung yaitu total frekuensi adalah $n=120$.
- Untuk menentukan letak $Q_{1}$ ada pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(n+1) \right]$
- $Q_{1}$ terletak pada data ke- $\left[\frac{1}{4}(120+1) \right]=30,75$
- $Q_{1}$ berada pada data ke-$30,75$ artinya $Q_{1}$ berada pada kelas interval $60-69$ (*1+3+11+20=35)
- Tepi bawah kelas $Q_{1}$: $60-69$
$t_{b}= 60 - 0,5 = 59,5 $ - Frekuensi kumulatif sebelum kelas $Q_{1}$,
$f_{k}= 1+3+11=15$ - Frekuensi kelas $Q_{1}$, $f_{Q_{1}}=20$
- Panjang kelas $c=69,5-59,5=10$
$ \begin{align}
Q_{1} & = t_{b} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - f_{k}}{f_{Q_{1}}} \right)c \\
& = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{4} \cdot 120 - 15}{20} \right)10 \\
& = 59,5 + \left( \frac{30 - 15}{20} \right)10 \\
& = 59,5 + \left( \frac{15}{20} \right)10 \\
& = 59,5 + 7,5 \\
& = 67,0
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 67,0$
34. Dani dan Salsa sedang mengamati salah satu sisi piramida yang berbentuk segitiga dengan titik sudutnya diberi tanda $P,\ Q,\ \text{dan}\ R$. Ukuran panjang sisi $PQ$ adalah $8\ cm$, panjang sisi $QR$ adalah $6\ cm$, dan besar sudut $Q=60^{\circ}$. Luas segitiga tersebut adalah..
$\begin{align}
(A).\ & 12 \sqrt{6}\ cm^{2} \\
(B).\ & 12 \sqrt{5}\ cm^{2} \\
(C).\ & 12 \sqrt{3}\ cm^{2} \\
(D).\ & 12 \sqrt{2}\ cm^{2} \\
(E).\ & 12 cm^{2}
\end{align}$
Segitiga yang diamati Dani dan Salsa adalah segitiga $PQR$ dimana diketahui $PQ=8\ cm$, $QR=6\ cm$, dan besar sudut $Q=60^{\circ}$.
Luas segitiga $PQR$ dapat kita hitung dengan menggunakan luas segitiga jika diketahui panjang dua sisi dan satu sudut, yaitu:
$\begin{align}
L & = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ Q \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot PQ \cdot QR\ \cdot sin\ 60^{\circ} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} \dfrac{3} \\
& = 12 \dfrac{3}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C).\ 12 \sqrt{3}\ cm^{2}$
35. Pada suatu hari diketahui penumpang kereta api $X$ dan $Y$ adalah sebagai berikut:
Harga tiket kereta api $Rp90.000,00$ untuk kelas bisnis dan $Rp150.000,00$ untuk kelas eksekutif. Besar pendapatan yang diterima dari kereta api $X$ dan $Y$ dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan bentuk matriks...
Jenis Kereta Api Kelas Bisnis Kelas Eksekutif X $200$ $60$ Y $150$ $80$
$\begin{align}
(A).\ & \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
200 & 60\\
150 & 80
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
90.000\\
150.000
\end{pmatrix} \\
(B).\ & \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
200 & 150\\
60 & 80
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
90.000\\
150.000
\end{pmatrix} \\
(C).\ & \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
200 & 80\\
60 & 150
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
90.000\\
150.000
\end{pmatrix} \\
(D).\ & \begin{pmatrix}
200 & 60\\
150 & 80
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
90.000\\
150.000
\end{pmatrix} \\
(E).\ & \begin{pmatrix}
200 & 150\\
60 & 80
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
90.000\\
150.000
\end{pmatrix}
\end{align}$
Dari tabel yang diberikan diatas, besar pendapatan untuk kedua kereta api adalah:
- $X=200 \times 150.000 + 60 \times 90.000 $
- $Y=150 \times 150.000 + 80 \times 90.000 $
Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200 & 60\\ 150 & 80 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 90.000\\ 150.000 \end{pmatrix}$
Selesaikan perkalian matriks diatas lalu dilanjutkan dengan kesamaan dua matriks maka akan kita peroleh persamaan seperti apa yang akan kita tentukan.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A).\ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200 & 60\\ 150 & 80 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 90.000\\ 150.000 \end{pmatrix}$
36. Setiap tahun harga jual tanah di sebuah komplek perumahan mengalami kenaikan $20\%$ dari tahun sebelumnya, sedangkan harga jual bangunannya mengalami penurunan $10\%$ dari tahun sebelumnya. Sebuah rumah dibeli $5$ tahun yang lalu seharga $200$ juta rupiah dengan perbandingan harga beli tanah terhadap bangunan $3:2$. Harga jual rumah tersebut (tanah dan bangunan) saat ini adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left \{ 120 \left ( \dfrac{6}{5} \right )^{6}+80\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{6} \right \}\ \text{juta rupiah} \\
(B)\ & \left \{ 120\left ( \dfrac{6}{5} \right )^{5}+80\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{5} \right \}\ \text{juta rupiah} \\
(C)\ & \left \{ 120\left ( \dfrac{6}{5} \right )^{4}+80\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{4} \right \}\ \text{juta rupiah} \\
(D)\ & \left \{ 80\left ( \dfrac{6}{5} \right )^{5}+120\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{5} \right \}\ \text{juta rupiah} \\
(E)\ & \left \{ 80\left ( \dfrac{6}{5} \right )^{4}+120\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{4} \right \}\ \text{juta rupiah}
\end{align} $
Lima tahun yang lalu rumah dan tanah dibeli dengan harga 200 juta. Jika dipecah harga bangunan 80 juta dan tanah 120 juta.
Harga jual tanah tiap tahun naik $20\%$ dari harga sebelumnya sehingga perkembangan harga mengikuti barisan geometri dengan $a=120$ dan rasio $r=1+\ 20\%$ atau $r=\dfrac{6}{5}$.
Sehingga harga sekarang dari $5$ tahun yang lalu adalah:
$ \begin{align}
U_{n} & = ar^{n-1} \\
U_{5} & = ar^{5-1} \\
& = 120 \cdot \left ( \dfrac{6}{5} \right )^{4}
\end{align} $
Harga jual bangunan tiap tahun turun $10\%$ dari harga sebelumnya sehingga perkembangan harga mengikuti barisan geometri dengan $a=80$ dan rasio $r=1-\ 10\%$ atau $r=\dfrac{9}{10}$.
Sehingga harga sekarang dari $5$ tahun yang lalu adalah:
$ \begin{align}
U_{n} & = ar^{n-1} \\
U_{5} & = ar^{5-1} \\
& = 80 \cdot \left ( \dfrac{9}{10} \right )^{4}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \left \{ 120\left ( \dfrac{6}{5} \right )^{4}+80\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{4} \right \}\ \text{juta rupiah}$
37. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-3x+7=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$ dan $\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ adalah $ax^{2}+bx+c=0$. Nilai $2a+b+c$ adalah...
Persamaan kuadrat $x^{2}-3x+7=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} & = -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \times x_{2} & = \dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{1}=7 \\
\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}} & = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \times x_{2}} = \dfrac{3}{7} \\
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} & = \left( x_{1} +x_{2} \right)^{2}-2x_{1} x_{2} \\
& = 9-2(7)=-5
\end{align}$
Salah satu cara menyusun persamaan kuadrat adalah dengan mengetahui hasil jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat tersebut.
Jika sebuah persamaan kuadrat akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaan kuadrat tersebut adalah:
$x^{2}-\left( \alpha+\beta \right)x+\left( \alpha \times \beta \right)=0$
$\begin{align}
\alpha + \beta & = \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}} + \dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \\
& = \dfrac{3}{7} + \dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} \times x_{2}} \\
& = \dfrac{3}{7} + \dfrac{-5}{7} \\
& = \dfrac{-2}{7}
\end{align}$
$\begin{align}
\alpha \times \beta & = \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}} \times \dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \\
& = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{-5}{7} \\
& = \dfrac{-15}{49}
\end{align}$
Persamaan kuadrat yang baru adalah:
$\begin{align}
x^{2}-\left( \alpha +\beta \right)x+\left( \alpha \times \beta \right) & =0 \\
x^{2}-\left( \dfrac{-2}{7} \right)x+\left( \dfrac{-15}{49} \right) & = 0 \\
49x^{2}+14x-15=0
\end{align}$
(*soal ini memiliki banyak jawaban)
$\therefore$ Nilai $2a+b+c$ adalah $2(49)+14-15=97$
38. Diketahui fungsi
$f(x)=\begin{cases}x^{2}+px-3,\ x\leq 2 \\
5x-1,\ x \gt 2 \end{cases}$
Agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ memiliki nilai, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
Berdasarkan defenisi limit, agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai maka Limit Kiri = Limit Kanan secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)=L$
Limit kanan $\lim\limits_{x \to 2^{+}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{+}}(5x-1)=5(2)-1=9$
Limit kiri $\lim\limits_{x \to 2^{-}}f(x)$
$\lim\limits_{x \to 2^{-}}(x^{2}+px-3)=(2)^{2}+p(2)-3=1+2p$
Berdasarkan defenisi agar $\lim\limits_{x \to 2}f(x)$ mempunyai nilai yaitu Limit Kiri = Limit Kanan maka:
$\begin{align}
1+2p & = 9 \\
2p & = 8 \\
p & = 4
\end{align}$
$\therefore$ Nilai $p$ adalah $4$
39. Fungsi trigonometri $f(x)=2\ sin\ x + 1$ memotong sumbu $X$ pada interval $270^{\circ} \leq x \leq 360^{\circ}$. Nilai $x$ yang memenuhi adalah...
Fungsi $f(x)=2\ sin\ x + 1$ memotong sumbu $X$ sehingga:
$\begin{align}
2\ sin\ x + 1 & = 0 \\
2\ sin\ x & = -1 \\
sin\ x & = -\dfrac{1}{2} \\
sin\ x & = sin 330 \\
\end{align}$
$\begin{align}
x = 330+k \cdot 360\ & \vee\ x = 180-330+k \cdot 360 \\
x = 330+k \cdot 360\ & \vee\ x = -150+k \cdot 360
\end{align}$
- Untuk $k=-1$
$x = -30 \vee\ x = -510$ - Untuk $k=0$
$x = 330 \vee\ x = -150$ - Untuk $k=1$
$x = 690 \vee\ x = 210$
$\therefore$ Nilai $x$ yang memenuhi adalah $330$
40. Kota $P$ dan kota $T$ dihubungkan oleh beberapa jalan melalui kota $Q, R,$ dan $S$ seperti pada gambar berikut:
Budi berangkat dari kota $P$ menuju kota $T$. Banyak alternatif jalan yang dapat dipilih Budi adalah...
Untuk sampai ke Kota $T$ dari $P$ ada dua alternatif jalur yang dipilih yaitu melalui kota kota $R$ atau $S$.
- Jika melalui $S$ banyak alternatif jalan adalah $4 \times 3 \times 1=12$.
- Jika melalui $R$ banyak alternatif jalan adalah $4 \times 1 \times 2=8$.
$\therefore$ Banyak jalan alternatif adalah $20$
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Cara Pilar (Pintar Bernalar) Pembagian Pecahan Tanpa Diubah Jadi Perkalian;
){kind=link}