Matematika PiLar (Pintar Bernalar): Fungsi Komposisi (FKFI)
MMatematika PiLar (Pintar Bernalar): Fungsi Komposisi (FKFI) beriktu ini kita pakai cara PiLar (Pintar Bernalar) dalam mengerjakan FKFI (Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers). Cara PiLar (Pintar Bernalar) yang saya maksud hanya penambahan istilah dalam menyelesaikan soal-soal matematika secara kreatif, meskipun sebenarnya tidak benar-benar kreatif๐๐. Dengan memodifikasi beberapa rumus yang ada untuk menyelesaikan soal, diperolehlah sebuah cara kreatif ๐๐ untuk menemukan jawaban pada soal.
Pada bimbingan test atau bimbingan belajar cara-cara seperti ini tidak asing lagi, cara ini sering kita dengar dengan beberapa istilah, antara lain: Cara Cepat (*CarCep), Smart Solution (*SS), Jalan Pintas (*JP), Cara Kreatif (*CK), Cara Pintar (*CP), Fastes Solution (*FS), CarE (*Cara Efisien) dan lain sebagainya
Kemarin Pak Anang salah seorang anggota Matematika Nusantara (MN) mengembangkan istilah yang masih tergolong baru, yaitu 'Cara Lirikan'. Jadi ketika ketemu soal, jawabnya tinggal lirik saja atau mengerjakan soal hanya dengan satu, dua, atau tiga lirikan saja.
Istilah-istilah diatas mempunyai tujuan yang sama yaitu agar para siswa lebih mudah dalam memahami materi atau menemukan jawaban soal dengan waktu yang lebih cepat. Tetapi diharapkan siswa tetap memahami prosedural-prosedural yang umum dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika.
Agar istilah-istilah yang ada tidak terdengar basi atau kedaluwarsa, maka kita coba perkenalkan istilah yang baru yaitu "Cara PiLar" (Pinta Bernalar). Ini terispirasi dari program pemerintah yang kembali mengangkat program 4 pilar dan karena semakin lemahnya masyarakat bernalar.
Awalnya tulisan ini mau dipakai dengan "Cara Nakal", tetapi karena kesannya negatif sehingga istilahnya kita modifikasi kembali. Untuk "Cara Nakal" itu sendiri terinspirasi dari anak-anak nakal atau anak-anak yang diberi cap "nakal atau bandal" Anak Nakal itu adalah anak yang mempunyai akal, sedangkan Anak Bandal itu adalah anak yang bisa di andalkan. Jadi kita sebagai seorang guru atau orang tua hanya perlu sedikit kesabaran dan belajar banyak untuk melihat bagaimana mengembangkan akal anak dengan baik atau bagaimana kita bisa menggandalkan anak-anak dengan baik.
Kembali kepada Cara PiLar (Pintar Bernalar) Mengerjakan Soal Matematika Tentang FKFI (Fungsi Komposisi Fungsi Invers) yang kita sebutkan di awal. Mari kita coba dengan beberapa contoh soal yang diujikan pada SBMPTN pada beberapa tahun terakhir.
Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$ . Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang bisa kita tuliskan, antara lain;
- Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$
- $\left ( fog \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$
- $\left ( fog \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1}of^{-1} \right )\left ( x \right )$
- $\left ( f^{-1}of \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$
- $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$
- Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$
- Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$
Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$,
Untuk Nilai fungsi pertanyaanya adalah berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$.
Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya adalah $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau bisa kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$.
Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
SOAL SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $f^{-1}\left ( x \right )+4$
(B) $4-f^{-1}\left ( x \right)$
(C) $f^{-1}\left ( x+4 \right)$
(D) $-f^{-1}\left ( x \right)-4$
(E) $f^{-1}\left ( x \right)-4$
$g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$.
$g\left ( x-2 \right)=a$
$g^{-1}\left ( a \right )=x-2$
$g^{-1}\left ( a \right )+2=x$
$f\left ( x+2 \right )=a$
$f^{-1}\left ( a \right )=x+2$
$f^{-1}\left ( a \right )=g^{-1}\left ( a \right )+2+2$
$f^{-1}\left ( a \right )=g^{-1}\left ( a \right )+4$
$f^{-1}\left ( a \right )-4=g^{-1}\left ( a \right )$
$g^{-1}\left ( a \right )=f^{-1}\left ( a \right )-4$
SOAL SBMPTN 2016 Kode 324 (*Soal Lengkap)
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ mempunyai invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $g^{-1}\left ( x \right )-4$
(B) $g^{-1}\left ( x \right)-2$
(C) $\frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-2$
(D) $\frac{1}{2}\left (g^{-1}\left ( x \right)-2 \right)$
(E) $\frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4$
Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan seperti soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$.
Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$.
$g\left ( 4+2x \right)=y$
$g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$
$g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$
$\frac{1}{2} \left (g^{-1}\left ( y \right )-4 \right )=x$
$\frac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2=x$
$f\left ( x \right )=y$
$f^{-1}\left ( y \right )=x$
$f^{-1}\left ( y \right )=\frac{1}{2} g^{-1}\left ( y \right )-2$
$\therefore f^{-1}\left ( x \right )=\frac{1}{2} g^{-1}\left ( x \right )-2$
SOAL SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$
(A) $2x+8$
(B) $2x-8$
(C) $8-2x$
(D) $\frac{x}{2}-4$
(E) $4-\frac{x}{2}$
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$
$\frac{x}{2}=a-3$
$x=2a-6$
$f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$
$f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$
$f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$
$\therefore f^{-1}\left ( x \right )=8-2x$ $\C$
SOAL SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)
Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$
(A) $-3$
(B) $-2$
(C) $-\frac{3}{2}$
(D) $\frac{3}{2}$
(E) $3$
Untuk menjawab soal ini bisa kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ lalu mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ lalu menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$.
Alternatif lain dengan sedikit nakal memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$
atau bisa kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$
$f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$
$f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$
$q= \frac{-p+q}{1}$
$q= -p+q$
$p=0$
$f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$
$f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$
kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ karena kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$
$q=2qx+4q$
$-3q=2qx$
$x=\frac{-3q}{2q}$
$\therefore f^{-1}\left ( 2q \right )=-\frac{3}{22}$ $\C$
SOAL SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ adalah $\cdots$
(A) $-1$
(B) $0$
(C) $1$
(D) $2$
(E) $3$
Untuk menjawab soal ini bisa juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ lalu kita akan dapat $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$.
Alternatif lain kita bisa nakal dengan memakai sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$.
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ karena kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$
$x-6=-2x-6$
$-6+6=-3x$
$x=0$
$f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$
$f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$
$\therefore f^{-1}\left ( -2 \right )=-1$ $\A$
Silahkan disimak juga Kumpulan Soal Lengkap dan Modul atau Ebook Untuk Menghadapi SBMPTN (*lihat disini).
Jika tertarik untuk membahas soal Ujian Nasional SMA, silahkan di simak Kumpulan Soal Ujian Nasional [UN] Untuk SMA - Update 2018 (*lihat disini)
Jika ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan๐CMIIW. Jangan Lupa Untuk Berbagi ๐Share is Caring ๐ dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE๐
Video pilihan khusus untuk Anda ๐ Mengerjakan pembagian pecahan super keren;
: Fungsi Komposisi (FKFI)){kind=link}