Soal dan Pembahasan OSP Matematika SD Tahun 2017
Soal dan Pembahasan OSP Matematika SD Tahun 2017. Soal dan pembahasan OSN Tingkat Provinsi [OSP] untuk bidang matematika ini sebagai latihan awal untuk kita yang mau berkenalan dan belajar soal-soal olimpiade matematika.
Membahas soal olimpiade matematika SD ini bagi saya mempunyai keunikan tersendiri, karena ini membuktikkan bahwa kemampuan anak SD sekarang dalam bermatematik untuk beberapa kelompok tertentu sudah sangat baik. Ini juga membuktikan bahwa matematika yang saya pelajari long time ago sewaktu masih Sekolah Dasar di SD Inpres Negeri No.064957 dibandingkan dengan olimpiade matematika SD ini ibarat langit dan bumi.
Sekarang mari kita diskusi tentang Soal OSP Matematika SD Tahun 2017, jika ada yang mau ditanyakan, penulisan jawaban/soal yang salah, atau Anda punya ide kreatif lain dalam menyelesaikan soal-soal yang disajikan, maka tidak usah segan-segan untuk segera memberikan komentar 😏
Soal Isian Singkat
(1). Nilai dari $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$ adalah
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\cdots$
Untuk siswa yang tidak terbiasa dengan soal olimpiade, soal ini akan dikerjakan dengan cara menyamakan penyebut pecahan lalu menjumlahkannya. Tetapi panitia pastinya menginginkan sesuatu yang kreatif, salah satu tujuan olimpiade matematika dilaksanakan adalah untuk meningkatkan kreatifitas siswa dalam memecahkan masalah. Jadi untuk menyelesaikan soal dibutuhkan sedikit tambahan kreatifitas.
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}$
$=\left (\frac{2-1}{1\times2} \right )+\left (\frac{3-2}{2\times3} \right )+\left (\frac{4-3}{3\times4} \right )+\left (\frac{5-4}{4\times5} \right )+\left (\frac{6-5}{5\times6} \right )$
$=\left (\frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right )+\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+\left (\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right )+\left (\frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right )$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{1}-\frac{1}{6}$
$=\frac{5}{6}$
(2). Berapa banyak bilangan $3$-angka yang memenuhi semua syarat berikut:
- Kelipatan $9$
- Digit pertama kurang dari digit kedua
- Jumlah digit pertama dan ketiga adalah $11$
Misalkan bilangan yang dinginkan adalah $abc$
Bilangan $abc$ adalah kelipatan $9$ sehingga jumlah digit $a+b+c$ harus habis dibagi $9$ seperti ciri khas bilangan habis dibagi kelipan $9$.
$a+c=11$ sehingga agar $a+b+c$ kelipatan $9$ maka nilai $b$ yang mungkin hanya $7$.
Karena nilai $b=7$ maka $a=2, c=9$, $a=3, c=8$, $a=4, c=7$, $a=5, c=6$, dan $a=6,c=5$.
$\therefore$ banyak bilangan ada sebanyak $5$.
(3). Empat angka berurutan dapat menunjukkan waktu tertentu pada jam digital, seperti contoh:
$(a)$ pukul satu lebih dua puluh tiga menit tertulis sebagai berikut $01:23$
$(b)$ pukul sepuluh lebih dua puluh tiga puluh dua menit tertulis sebagai berikut $10:32$
Banyaknya susunan lainnya yang muncul dalam jam digital tersebut adalah...
Empat angka berurutan yang mungkin terjadi pada jam digital adalah $\left (0,1,2,3 \right ) $, $\left (1,2,3,4 \right ) $ dan $\left (2,3,4,5 \right ) $
Sehingga kita bagi menjadi 3 kasus;
Kasus I untuk angka $0,1,2,3$
Angka pertama tidak mungkin $3$, maka banyak bilangan yang mungkin adalah $3 \times 3 \times 2 \times 1 =18$
Kasus II untuk angka $1,2,3,4$
Angka pertama dan kedua yang mungkin adalah angka $1$ atau $2$
Untuk angka pertama $1$, banyak bilangan yang mungkin adalah $1 \times 3 \times 2 \times 1 =6$
Untuk angka pertama $2$, banyak bilangan yang mungkin adalah $1 \times 3 \times 2 \times 1 =6$, tetapi untuk angka pertama $2$ kita kurangi dua bilangan yaitu $24:23$ dan $24:32$ sehingga banyak bilangan yang mungkin untuk angka $1,2,3,4$ adalah $10$
Kasus III untuk angka $2,3,4,5$
Untuk kasus ini waktu yang mungkin hanya ditunjukkan pada saat $23:45$ dan $23:54$.
$\therefore$ banyak bilangan ada sebanyak $18+10+2=30$.
(4).Tahun $2017$ rata-rata usia dari suatu keluarga; ayah, ibu, dan ketiga anaknya adalah $20$. Jika usia mereka berlima ditambah usia seorang nenek dan kakek mereka, maka rata-ratanya menjadi $32$. Jika usia kakek lebih tua $12$ tahun dari usia nenek, maka kakek lahir pada tahun...
Untuk menghitung rata-rata kita bisa gunakan aturan;
$\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}}{n}=\bar{x}$
Dari keterangan soal diketahui bahwa rata-rata usia dari suatu keluarga; ayah, ibu, dan ketiga anaknya adalah $20$, sehingga diperoleh;
$\frac{x_{A}+x_{I}+x_{a1}+x_{a2}+x_{a3}}{5}=20$
$x_{A}+x_{I}+x_{a1}+x_{a2}+x_{a3}=100$
Lalu rata-ratanya menjadi $32$ jika ditambah kakek dan nenek, sehingga kita peroleh;
$\frac{x_{K}+x_{N}+x_{A}+x_{I}+x_{a1}+x_{a2}+x_{a3}}{7}=32$
$x_{K}+x_{N}+x_{A}+x_{I}+x_{a1}+x_{a2}+x_{a3}=224$
$x_{K}+x_{N}+100=224$
$x_{K}+x_{N}=124$
Karena usia kakek lebih tua $12$ tahun dari usia nenek, maka:
$x_{K}+x_{N}=124$
$x_{K}+x_{K}-12=124$
$2x_{K}=136$
$x_{K}=68$
$\therefore$ Umur kakek adalah $68$ tahun, sehingga tahun lahirnya adalah $2017-68=1949$
(5). Heri mengikuti lomba bersepeda mengelilingi suatu daerah tertentu. Berikut adalah tabel catatan waktu Heri tiap putaran, dimulai dari waktu awal berangkatnya.
Heri menempuh waktu paling lambat adalah putaran ke...
Putaran I ditempuh dalam waktu;
$=10.26-09.55$
$=10.86-09.55$
$=00.31$
Putaran II ditempuh dalam waktu;
$=10.54-10.26$
$=00.29$
Putaran III ditempuh dalam waktu;
$=11.28-10.54$
$=10.88-10.54$
$=00.34$
Putaran IV ditempuh dalam waktu;
$=12.03-11.28$
$=11.63-11.28$
$=00.35$
Putaran IV ditempuh dalam waktu;
$=12.35-12.03$
$=00.32$
$\therefore$ Putaran yang paling lambat adalah putaran ke-4
(6). Perhatikan garis tebal yang menyusuri permukaan balok berukuran $2 cm \times 3cm \times 4cm$. Jika $P$ adalah titik potong pertemuan diagonal bidang dan $T$ adalah titik tengah sisi terpanjang,
maka panjang garis tebal tersebut adalah...
Panjang garis tebal pada gambar dari awal hingga sampai ke $T$ terbagi atas 7 segmen garis. Kita akan hitung satu per satu mulai dari segmen garis yang pertama sampai kepada titik $T$
Panjang segmen garis I;
$3\ cm$
Panjang segmen garis II;
$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
Panjang segmen garis III;
$3\ cm$
Panjang segmen garis IV;
$\sqrt{2^2+(1,5)^2}=\sqrt{6,25}=2,5$
Panjang segmen garis V;
$\sqrt{2^2+(1,5)^2}=\sqrt{6,25}=2,5$
Panjang segmen garis VI;
$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$
Panjang segmen garis VII;
$2\ cm$
$\therefore$ Panjang garis tebal keseluruhan adalah
$3+\sqrt{13}+3+2,5+2,5+\sqrt{13}+2=13+2\sqrt{13}$
(7). Lintang memiliki uang pecahan $500$ rupiah sebanyak $5$ keping, pecahan $1.000$ rupiah sebanyak $7$ lembar dan pecahan $5.000$ rupiah sebanyak $3$ lembar. Lintang akan membeli buku seharga $Rp12.500,00$, banyak cara membayar buku tersebut tanpa uang kembalian adalah...
Untuk menghasilkan $12.500$ dari uang yang dimiliki Lintang ada beberapa kemungkinan, kita hanya perlu mencoba mendata semua kemungkinan;
- $12.500=5000 \times 2 + 1.000 \times 2 + 500 \times 1$
- $12.500=5000 \times 2 + 1.000 \times 1 + 500 \times 3$
- $12.500=5000 \times 2 + 1.000 \times 0 + 500 \times 5$
- $12.500=5000 \times 1 + 1.000 \times 7 + 500 \times 1$
- $12.500=5000 \times 1 + 1.000 \times 6 + 500 \times 3$
- $12.500=5000 \times 1 + 1.000 \times 5 + 500 \times 5$
(8). Gantilah $A,B,C$ $D$dibawah ini dengan bilangan yang sesuai sehingga pernyataan menjadi benar.
Dari tabel kita peroleh beberapa persamaan yaitu;
$A-B=8 \cdots$ pers. $(1)$
$A-C=7 \cdots$ pers. $(2)$
$B-D=5 \cdots$ pers. $(3)$
$C+D=12 \cdots$ pers. $(4)$
Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita kurangkan maka diperoleh $C-B=1$ kita anggap sebagai persamaan $(5)$.
Jika persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita jumlahkan maka diperoleh $B+C=17$ kita anggap sebagai persamaan $(6)$.
Jika persamaan $(5)$ dan $(6)$ kita jumlahkan maka diperoleh $2C=18$ atau $C=9$.
Dari persamaan $(4)$ dan untuk $C=9$ maka $D=3$.
Dari persamaan $(5)$ dan untuk $C=9$ maka $B=8$.
Dari persamaan $(2)$ dan untuk $C=9$ maka $A=16$.
$\therefore A=16, B=8, C=9, D=3$
(9). Riri mempunyai $150$ lembar uang kertas yang terdiri dari pecahan $5.000$, $10.000$, $20.000$ dan $50.000$ rupiah. Dua puluh persen dari lembaran tersebut adalah lembaran $5.000$ rupiah dan setengah bagiannya merupakan lembaran $10.000$ rupiah. Apabila dua per lima dari sisanya adalah lembaran $20.000$ rupiah, maka nilai uang Riri seluruhnya adalah ... rupiah.
Untuk mencoba menyelesaikan ini, kita coba dengan memisalkan banyak lembaran uang untuk setiap nilai.
Misal:
Banyak uang pecahan $5.000$ = $a$
Banyak uang pecahan $10.000$ = $b$
Banyak uang pecahan $20.000$ = $c$
Banyak uang pecahan $50.000$ = $d$
Berdasarkan apa yang disampaikan pada soal bahwa:
"Riri mempunyai $150$ lembar uang kertas"
$a+b+c+d=150$
"Dua puluh persen dari lembaran tersebut adala lembaran $5.000$"
$a=20\% \times 150= 30$
"Dua puluh persen dari lembaran tersebut adala lembaran $10.000$"
$b= \frac{1}{2} \times 150= 75$
"dua per lima dari sisanya adalah lembaran $20.000$"
$c= \frac{2}{5} \times (150-105)= 18$
Nilai uang Riri seluruhnya adalah:
$=30 \times 5.000 + 75 \times 10.000 + 18 \times 20.000 + 27 \times 50.000$
$=150.000 + 750.000 + 360.000 + 1.350.000$
$=2.610.000$
(10). The value of $\frac{100001^2-99999^2}{1001^2-999^2}$ is ...
Untuk soal ini pastinya kita tidak dianjurkan untuk mengerjakan secara manual, karena soal ini punya bentuk yang khusus yaitu menggunakan sifat pemfaktoran $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
$\frac{100001^2-99999^2}{1001^2-999^2}$
$=\frac{(100001+99999)(100001-99999)}{(1001+999)(1001-999)}$
$=\frac{(200000)(2)}{(2000)(2)}$
$=100$
(11). Bila $a$ dan $b$ keduanya bilangan bulat, $a$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari $50$ dan $6a+7b=1$ maka $a$ dan $b$ masing-masing adalah...
$a$ dan $b$ adalah bilangan bulat menjadi catatan penting.
kita mulai dari $6a+7b=1$
$6a=1-7b$
$a=\frac{1-7b}{6}$
$a=-b+\frac{1-b}{6}$ adalah bilangan bulat, sehingga $\frac{1-b}{6}$ harus bilangan bulat, kita misalkan saja $m$.
$m=\frac{1-b}{6}$
$6m=1-b$
$b=1-6m$
$a=-b+\frac{1-b}{6}$
$a=-(1-6m)+\frac{1-(1-6m)}{6}$
$a=-1+6m+\frac{1-1+6m}{6}$
$a=-1+6m+\frac{6m}{6}$
$a=-1+6m+m$
$a=-1+7m$ dan $a > 50$
maka:
$-1+7m > 50$
$7m > 51$
$m > \frac{51}{7}=7,...$
bilangan bulat $m$ terkecil agar $a$ nilai terkecil yang lebih dari $50$ adalah $8$.
[*sebagai catatan bilangan bulat $m$ terkecil dinotasikan $\left \lceil m \right \rceil$, yang menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $m$.
$a=-1+7m$
$a=-1+7(8)$
$a=55$ dan $b=-47$
(12). Perhatikan pola bilangan berikut
$2$, $6$, $12$, $20$, $30$, $42$, $56$, $72$, $90$, $\cdots$
Jika angka-angka pada bilangan ke-$25$ dijumlahkan, maka nilainya adalah...
Pola bilangan:
bilangan 1: $2=1 \times 2$,
bilangan 2: $6=2 \times 3$,
bilangan 3: $12=3 \times 4$,
bilangan 4: $20=4 \times 5$,
bilangan 5: $30=5 \times 6$,
$\vdots$
bilangan 25: $25 \times 26=650$
Jumlah angka-angka pada bilangan ke-25 adalah $6+5+0=11$
(13). Siti membutuhkan uang sebesar $Rp4.550.000,00$ untuk membeli sebuah komputer. Agar bisa membelinya Siti harus menyisihkan sebagian dari $30.000$ rupiah uang jajannya setiap pergi sekolah. Jika Siti selalu masuk sekolah rata-rata 25 hari setiap bulannya selama sepuluh bulan, maka minimal rata-rata uang jajan yang ditabung Siti per hari supaya dapat membeli komputer setelah 10 bulan adalah...
Uang jajan yang disisihkan Siti pastinya kurang dari $30.000$, kita misalkan saja sebesar $M$.
Total uang yang terkumpul selama 10 bulan dan 25 hari setiap bulannya adalah $T=10 \times 25 \times M$
$T=250 \times M$
Karena harga komputer $Rp4.550.000,00$ maka
$T \geq 4.550.000$
$250 \times M \geq 4.550.000$
$M \geq \frac{4.550.000}{250}$
$M \geq 18.200$
Minimal uang yang harus dikumpulkan Siti setiap hari adalah $Rp18.200$
(14). Suatu kelas berisi $20$ siswa. Setiap siswa diwajibkan mengikuti minimal satu kelompok belajar. Terdapat dua kelompok belajar, $A$ dan $B$ yang masing-masing anggotanya $14$ dan $10$ orang. Jika rata-rata nilai ujian untuk masing-masing kelompok berturut-turut adalah $8$ dan $6$ dan rata-rata nilai seluruh siswa adalah $7$, maka rata-rata nilai ujian siswa yang mengikuti kedua kelompok belajar $A$ dan $B$ adalah...
Setiap siswa diwajibkan mengikuti minimal satu kelompok belajar, dan banyak siswa di kelompok $A=14$ dan $B=10$ maka ada siswa yang merupakan anggota kelompok $A$ juga merupakan anggota kelompok $B$ yaitu $4$ siswa. Siswa yang hanya anggota kelompok $A$ adalah $10$ siswa sedangkan yang hanya anggota kelompok $B$ adalah $6$ siswa.
Misalkan $4$ siswa yang anggota $A$ juga anggota $B$ adalah $ab_{1},ab_{2},ab_{3}$ dan $ab_{4}$.
Rata-rata kelompok $A$ adalah $8$.
$8=\frac{ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+a_{5}+ \dots+a_{14}}{14}$
$112=ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+a_{5}+ \dots+a_{14}$
$112-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})=a_{5}+ \dots+a_{14}$
Rata-rata kelompok $B$ adalah $6$.
$6=\frac{ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+b_{5}+\dots+b_{10}}{10}$
$60=ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+b_{5}+\dots+b_{10}$
$60-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})=b_{5}+\dots+b_{10}$
Rata-rata gabungan kelompok $A$ dan $B$ adalah $7$.
$7=\frac{ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+a_{5}+ \dots+a_{14}+b_{5}+\dots+b_{10}}{20}$
$140=ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}+$$112-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})$$+60-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})$
$140-112-60=-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})$
$-32=-(ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4})$
$32=ab_{1}+ab_{2}+ab_{3}+ab_{4}$
Rata-rata nilai siswa yang mengikuti dua kelompok adalah $8$.
(15). Berikut ini adalah grafik data siswa kelas $III$ dan siswa kelas $VI$ Sekolah Dasar 02 Sukasari yang menggunakan angkutan atau jalan kaki ke sekolah...
Persentase jumlah siswa yang naik sepeda dari jumlah seluruh siswa kelas $III$ dan $VI$ adalah...
Jumlah siswa kelas $III$ keseluruhan adalah $5+10+5+10=30$
Jumlah siswa kelas $III$ yang naik sepeda adalah $10$
Jumlah siswa kelas $VI$ keseluruhan adalah $5+7+11+7=30$
Jumlah siswa kelas $VI$ yang naik sepeda adalah $7$
Persentase jumlah siswa yang naik sepeda dari jumlah seluruh siswa kelas $III$ dan $VI$ adalah
$=\frac{10+7}{30+30} \times 100\%$
$=\frac{17}{60} \times 100\%$
$=28\frac{1}{3}\%$
(16). Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dibagi menjadi empat bagian seperti nampak pada gambar. Jika luas daerah $A$, $B$ dan $D$ berturut-turut adalah $15\ m^2$, $30\ m^2$ dan $40\ m^2$, maka perbandingan luas daerah $C$ dan $B$ adalah ...
Karena luas $A$, $B$ dan $D$ berupa bilangan bulat maka kita tafsir ukuran persegi panjang adalah bilangan bulat.
Bidang $A$ luas $15$: $1 \times 15$ atau $3 \times 5$
Bidang $B$ luas $30$: $1 \times 30$ atau $3 \times 10$
Bidang $A$ luas $15$: $1 \times 15$ atau $3 \times 5$
Bidang $D$ luas $40$: $1 \times 40$ atau $5 \times 8$
Lebar $A$ dan lebar $B$ sama dan panjang A merupakan lebar $D$ maka ukuran yang mungkin adalah
$A=3 \times 5$,
$B=3 \times 10$,
$D=5 \times 8$, sehingga
$C=8 \times 10$
Perbandingan luas daerah $C$ dan $B$ adalah $80:30$=$8:3$
(17). Perhatikan gambar persegi panjang $ABCD$ berikut. Nilai dari $2x+y$ adalah...
Perhatikan gambar, karena disini gambar tidak kita buatkan gambar baru, hanya menggunakan gambar yang diatas. Jika kurang bisa mengikuti, coba ambil kertas buram dan silahkan gambar kembali apa yang kita coba diskusikan.
Jika titik yang berada diantara $B$ dan $C$ adalah titik $E$, maka $\measuredangle AED=45$
Karena $\measuredangle BAE=\measuredangle CDE=x$ maka $\bigtriangleup ADE$ adalah segitiga sama kaki dan $\measuredangle CED=\measuredangle BEA=y$
$\measuredangle CED+\measuredangle AED+\measuredangle AEB=180$
$y+45+y=180$
$2y=135$
$y=67,5$ dan $x=22,5$
Nilai dari $2x+y=2(22,5)+67,5=112,5$
(18). Perhatikan gambar berikut. Bila semua lingkaran memiliki jari-jari yang sama maka luas daerah yang diarsir adalah ... $\left ( Gunakan\ \pi=\frac{22}{7} \right )$
Kita ambil sebuah lingkaran yang diapit oleh $4A$ seperti gambar, kita peroleh sebuah persegi dengan panjang sisi $1$ cm dan lingkaran dengan jari-jari $\frac{1}{2}$ cm.
Luas persegi=Luas Lingkaran+$4A$
$1 \times 1= \pi r^{2}+4A$
$1 = \pi \frac{1}{2}^{2}+4A$
$1 = \frac{22}{7} \frac{1}{4}+4A$
$1 = \frac{11}{14}+4A$
$1 - \frac{11}{14}=4A$
$\frac{3}{14}=4A$
$\frac{3}{56}=A$
Total Luas yang diarsir $20A=20 \times \frac{3}{56}=\frac{15}{14}$
(19). Banyaknya bilangan bulat dari $100$ sampai dengan $999$ yang mempunyai angka $0$ paling sedikit satu adalah...
Kita coba hitung secara manual banyak bilangan bulat dari $100$ sampai dengan $999$ yang ada angka $0$.
$100$ sampai $109$ ada $10$ bilangan
$110$ sampai $119$ ada $1$ bilangan
$120$ sampai $129$ ada $1$ bilangan
$130$ sampai $139$ ada $1$ bilangan
$\vdots$
$190$ sampai $199$ ada $1$ bilangan
Total ada bilangan ada 19 bilangan.
Jadi dari $100$ sampai $999$ yang memiliki angka nol adalah $19 \times 9=171$
Sebagai alternatif jika sudah paham aturan perkalian, hitungannya bisa kita kerjakandengan cara sebagai berikut;
Pertama kita hitung banyak bilangan bulat dari $100$ sampai dengan $999$, yaitu: $9 \times 10 \times 10=900$.
Kedua kita hitung banyak bilangan bulat dari $100$ sampai dengan $999$ yang tidak angka $0$, yaitu: $9 \times 9 \times 9=729$
Banyak bilangan yang ada angka $0$ adalah $900-729=171$
(20). Arbi mempunyai lima batang lidi dengan panjang masing-masing $5,8,11,15,20$ sentimeter. Banyaknya segitiga dengan tiga batang lidi dari lima batang lidi yang dapat dibuat Arbi adalah...
Untuk membuat segitiga dari $3$ batang lidi atau dari $3$ garis yang ada harus memenuhi syarat yaitu jumlah panjang dua sisi segitiga harus lebih dari panjang sisi yang lain.
Misalnya jika $a$, $b$ dan $c$ adalah sisi-sisi segitiga, maka berlaku:
$a+b > c$
$a+c > b$
$b+c > a$
Dari pilihan [5,8,11,15,20] kita kombinasi menjadi $3$ satu kelompok, yaitu [5,8,11], [5,8,15], [5,8,20], [5,11,15], [5,11,20], [5,15,20], [8,11,15], [8,11,20], [8,15,20], [11,15,20].
Dari kombinasi-kombinasi diatas yang bisa memenuhi hanya ada $5$.
(21). Jumlah dua bilangan asli adalah $7$. Jika jumlah pangkat tiga kedua bilangan adalah $91$, maka nilai jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut adalah...
Kita misalkan dua bilangan itu adalah $a$ dan $b$.
$a+b=7$
$a^{3}+b^{3}=91$
$a^{3}+a^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)$
$91=7(a^{2}+b^{2}-ab)$
$13=a^{2}+b^{2}-ab$
$(a+b)^2=a^{2}+b^{2}+2ab$
$49-2ab=a^{2}+b^{2}$
$13=a^{2}+b^{2}-ab$
$13=49-2ab-ab$
$-36=-3ab$
$12=ab$
$a^{2}+b^{2}-ab=13$
$a^{2}+b^{2}-12=13$
$a^{2}+b^{2}=25$
(22). Terdapat $95$ orang anggota pramuka yang akan tinggal di lima tenda besar. Data jumlah peserta pramuka pada kelima tenda tergambar sebagai berikut
Berapa orang anggota pramuka yang menempati masing-masing tenda?
Kita coba data ulang jumlah anggota pramuka yang menempati dua tenda, yaitu:
$A+B=41 \cdots (1)$
$B+C=40 \cdots (2)$
$C+D=36 \cdots (3)$
$D+E=39 \cdots (4)$
Jika semua kita jumlahkan kita peroleh;
$A+2B+2C+2D+E=156$
$2A+2B+2C+2D+2E-A-E=156$
$2(A+B+C+D+E)-A-E=156$
$2(95)-A-E=156$
$190-(A+E)=156$
$190-156=A+E$
$A+E=34 \cdots (5)$
Lalu dengan mengurangkan pers.$(1)$ dan $(2)$ kita peroleh $A-C=1$.
Lalu dengan menjumlahkan $A-C=1$ dengan pers.$(3)$ kita peroleh $A+D=37$.
Lalu dengan mengurangkan $A+D=37$ dengan pers.$(4)$ kita peroleh $A-E=-2$.
Lalu dengan menjumlahkan $A-E=-2$ dengan pers.$(5)$ kita peroleh $A=16$ dan $E=18$.
Lalu dengan mensubstitusi nilai $A$ dan $E$ ke persamaan $(1),(2),(3)$ atau $(4)$ diperoleh nilai $B=25$, $C=15$, dan $D=21$
(23). Lengkapi tabel perkalian berikut. Nilai $A+B$ adalah...
Untuk mengisi tabel perkalian seperti diatas, kita butuh kejelian untuk melihat bilangan hasil perkalian dua buah bilangan.
Sebagai awal kita konsentrasi ke $54$ dan $72$ itu adalah hasil perkalian bilangan $9$, yaitu $9 \times 8$ dan $9 \times 6$.
Langkah berikutnya tinggal kita kombinasikan kepada perkalian bilangan lainnya, coba ikuti langkah-langkah pada gambar.
(24). Mahatma menyusun kartu-kartu bilangan sebagai berikut:
Banyaknya kartu bilangan $80$ yang digunakan oleh Mahatma untuk membuat susunan tersebut adalah ... kartu
Dari kartu-kartu yang digunakan, jika kita perhatikan dari atas kebawah, pola bilangan adalah bilangan asli yang berubah adalah suku pertamanya.
Bilangan $80$ dipakai;
Pada kolom $1,2,3, \cdots ,99$ dipakai 1 kali.
Pada kolom $3,4,5, \cdots ,100$ dipakai 1 kali.
Pada kolom $5,6,7, \cdots ,101$ dipakai 1 kali.
Pada kolom $7,8,9, \cdots ,102$ dipakai 1 kali.
$\vdots$
Pada kolom $79,80,81, \cdots $ dipakai 1 kali.
setelah ini kolom berikutnya adalah $81,82, \cdots$ sehingga bilangan $80$ tidak dipakai lagi.
Jadi total bilangan $80$ yang dipakai sebanyak $40$ kali
(25). Data bayi sehat di lima kotamadya DKI Jakarta dari tahun $2014$ sampai dengan $2016$ tercatat sebagai berikut:
Diketahui dari tahun $2014$ sampai dengan tahun $2016$ bayi sehat pada kotamadya Jakarta Utara menurun $10\%$, pada kotamadya Jakarta Timur meningkat $20\%$, sementara pada kotamadya Jakarta Pusat rata-rata bayi sehat adalah $120$ bayi per tahun. Berdasarkan data di atas nilai $x+y+z$ adalah...
Jakarta Utara menurun $10\%$, maka:
$x=\frac{90}{100} \times 200$
$x=180$
Jakarta Timur meningkat $20\%$, maka:
$180=\frac{120}{100} \times z$
$180 \times \frac{100}{120} = z$
$150 = z$
Jakarta Pusat rata-rata bayi sehat adalah $120$ bayi per tahun, maka:
$120=\frac{105+125+y}{3}$
$360=105+125+y$
$360=230+y$
$130=y$
Nilai $x+y+z=180+150+130=460$
(26). Bilangan $6$ bisa dituliskan dalam penjumlahan tiga bilangan asli yaitu $1+2+3$ dengan $1<2<3$. Banyak cara bilangan 20 bisa dituliskan dalam penjumlahan tiga bilangan asli dengan bilangan pertama kurang dari bilangan kedua dan bilangan kedua kurang dari bilangan ketiga adalah ... cara.
Kita misalkan bilangannya adalah $a$, $b$. dan $c$.
Dimana berlaku $a+b+c=20$ dan $a < b < c$
Untuk kasus ini kita coba membaginya menjadi beberapa kasus yang mungkin dan mencacahnya;
Untuk $a=1$ nilai $(b,c)$ yang mungkin adalah $(2,17)$, $(3,16)$, $(4,15)$, $(5,14)$, $(6,13)$, $(7,12)$, $(8,11)$, $(9,10)$ ada sebanyak 8 kemungkinan.
Untuk $a=2$ nilai $(b,c)$ yang mungkin adalah $(3,15)$, $(4,14)$, $(5,13)$, $(6,12)$, $(7,11)$, $(8,10)$ ada sebanyak 6 kemungkinan.
Untuk $a=3$ nilai $(b,c)$ yang mungkin adalah $(4,13)$, $(5,12)$, $(6,11)$, $(7,10)$, $(8,9)$ ada sebanyak 5 kemungkinan.
Untuk $a=4$ nilai $(b,c)$ yang mungkin adalah $(5,11)$, $(6,10)$, $(7,9)$ada sebanyak 3 kemungkinan.
Untuk $a=5$ nilai $(b,c)$ yang mungkin adalah $(6,9)$, $(7,8)$ ada sebanyak 2 kemungkinan.
Untuk $a=6$ dan seterusnya tidak ada nilai $(b,c)$ yang mungkin.
Total banyak bilangan adalah $24$ bilangan
(27). Diberikan empat bilangan asli $a,b,c,$ dan $d$. Jika $KPK \left (a,b,c \right )=30$, $3a=2b$, $c=15$, $KPK \left (a,b \right )=d$ maka nilai maksimum dari $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ adalah...
KPK$(a,b,15)=30$
$3a=2b$ maka $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
$a=2k$ dan $b=3k$ Nilai minimal dari $a=2$ dan $b=3$.
KPK$(a,d)=6$ Nilai minimal $d=6$
nilai maksimum dari $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ adalah
Nilai maks $=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{6}$
Nilai maks $=\frac{15+10+2+5}{30}$
Nilai maks $=\frac{32}{30}=\frac{16}{15}$
(28). In the following figure, $ABCD$ is a rectangle, point E is the center of a circle and length $DE$ is $a\ cm$. the Shaded area is...
Untuk menghitung luas yang diarsir, kita mungkin membutuhkan luas segitiga, luas lingkaran atau luas persegi panjang.
Pertama kita menghitung $DC$ menggunakan Teorema Phytagoras
$DC^{2}=DE^{2}-CE^{2}$
$DC^{2}=a^{2}-(\frac{1}{2})a^{2}$
$DC^{2}=a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}$
$DC^{2}=\frac{3}{4}a^{2}$
$DC=\frac{1}{2}a \sqrt{3}$
Luas $\bigtriangleup CDE$
$L=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}a \sqrt{3} \times \frac{1}{2}a$
$L=\frac{1}{8} a^{2} \sqrt{3}$
Sudut $\measuredangle CED=60^{\circ}$ karena $DE=a$ dan $CE=\frac{1}{2}a$, sudut ini kita butuhkan untuk menghitung luas juring.
Luas Juring Lingkaran pada $\bigtriangleup CDE$
$L=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$L=\frac{1}{6} \times \pi (\frac{1}{2}a)^2$
$L=\frac{1}{6} \times \pi \frac{1}{4}a^2$
$L=\frac{1}{24} \pi a^2$
Luas yang diarsir
$L=\frac{1}{8} a^{2} \sqrt{3}-\frac{1}{24} \pi a^2$
$L= a^2(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{24})$
$L= \frac{3\sqrt{3}-\pi}{24} a^2$
Soal Uraian
(1). Delapan puluh murid SD Mekarmukti yang berasal dari kelas empat dan lima mengikuti seleksi OSN-SD. Rata-rata skor bersama yang mereka peroleh adalah $100$. Banyak murid kelas empat yang ikut seleksi $50\%$ lebih dari banyaknya siswa kelas lima, dan rata-rata skor murid kelas lima $50\%$ lebih tinggi dari rata-rata skor murid kelas empat. Berapa rata-rata skor murid kelas lima?
Kita misalkan banyak murid kelas $4$ adalah $n$ dan nilainya adalah $x_1,x_2,x_3, \cdots ,x_n$.
sehingga berlaku $\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}=\bar{x}$
Kita misalkan banyak murid kelas $5$ adalah $80-n$ dan nilainya adalah $y_1,y_2,y_3, \cdots ,y_{80-n}$.
sehingga berlaku $\frac{y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{80-n}}{80-n}=\bar{y}$
Banyak murid kelas empat yang ikut seleksi $50\%$ lebih dari banyaknya siswa kelas lima.
$n= 150\% (80-n)$
$n= \frac{3}{2}(80-n)$
$n= -\frac{3}{2}n+120$
$n+\frac{3}{2}n=120$
$\frac{5}{2}n=120$
$n=\frac{2}{5} \times 120$
$n=48$
Banyak siswa kelas $4$ = $48$
Banyak siswa kelas $5$ = $32$
Rata-rata skor murid kelas lima $50\%$ lebih tinggi dari rata-rata skor murid kelas empat.
$\bar{x} \times 150\%= \bar{y}$
$\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_{48}}{48} \times \frac{3}{2}=\frac{y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}}{32}$
$x_1+x_2+x_3+\cdots +x_{48}=y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}$
Rata-rata skor bersama yang mereka peroleh adalah $100$
$\frac{\bar{x} \times 48+ \bar{y} \times 32}{80}=100$
$\bar{x} \times 48+ \bar{y} \times 32=8000$
$x_1+x_2+x_3+\cdots +x_{48}+y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}=8000$
$y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}+y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}=8000$
$2(y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32})=8000$
$y_1+y_2+y_3+\cdots +y_{32}=4000$
$\bar{y}=\frac{4000}{32}=125$
(2). Lomba balap sepeda harus menyelesaikan lintasan sebanyak 10 putaran. Lintasan lomba terdiri dari jalur yang datar sepanjang $20,6$ kilometer; dilanjutkan dengan melewati hutan dengan panjang $4.300$ meter dan jalan menurun yang panjangnya 2 kali panjang lintasan di hutan. Lomba dimulai pukul $9.30$ WIB dan pemenang pertama mencapai garis finish pukul $16.12$ WIB sedangkan pembalap terakhir mencapai garis finish $1$ jam $40$ menit $30$ detik kemudian. Berapa selisih kecepatan rata-rata pemenang pertama dengan pembalap terakhir?
Kita coba hitung panjang lintasan $1$ putaran.
$s=20.600+4.300+8.600$
$s=33.500$ m $= 33,5$ km.
Untuk 10 putaran total jarak $S=335$ km.
Lomba dimulai $9.30$ WIB, Pertama finish pukul $16.12$ WIB dan terakhir pukul $17.52$ lewat $30$ detik WIB.
Waktu tempuh tercepat: $16.12-09.30$ adalah 6 jam 42 menit.
Waktu tempuh terlama: $17.52.30-09.30$ adalah 8 jam 22 menit 30 detik.
Kecepatan rata-rata tercepat
$v=\frac{s}{t}$
$v=\frac{335}{6\frac{7}{10}}$
$v=\frac{335}{\frac{67}{10}}$
$v=\frac{3350}{67}$
$v=50$
Kecepatan rata-rata terlama
$v=\frac{s}{t}$
$v=\frac{335}{8\frac{3}{8}}$
$v=\frac{335}{\frac{67}{8}}$
$v=\frac{2680}{67}$
$v=40$
selisih kecepatan adalah $10 \frac{km}{jam}$
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara piral (pintar bernalar);
